Paralelogram — definiție, proprietăți și formule explicate

Uitați-vă la o ușă. La un cadru de fereastră. La un smartphone. Toate sunt dreptunghiuri — adică un tip special de paralelogram. De fapt, dacă împingi ușor un pătrat într-o parte, ca și cum ar fi din plastilină, obții exact ce vrem să discutăm azi: un paralelogram. Mulți elevi cred că paralelogramul e ceva exotic, inventat special ca să complice viața la matematică. Nu e. E una dintre figurile pe care le vezi zilnic, fără să știi cum o cheamă. Problema apare când ajungi la exerciții și nu știi ce formulă să folosești, ce e înălțimea și ce e latura, sau de ce perimetrul nu se calculează la fel ca aria. Hai să lămurim totul, fără să sărăm direct la reguli.

Ce este, de fapt, un paralelogram?

Să zicem că ai un dreptunghi din carton. Pui mâna pe el și îl „strâmbi” într-o parte — colțurile nu mai sunt drepte, dar laturile opuse rămân paralele și egale. Asta ai obținut: un paralelogram. Practic, un paralelogram este un patrulater — o figură cu patru laturi — în care laturile opuse sunt paralele două câte două. Atât. Nu trebuie să aibă unghiuri drepte. Nu trebuie să fie „drept”. Trebuie doar ca cele două perechi de laturi opuse să fie paralele. Dreptunghiul, rombul și pătratul sunt toate cazuri particulare de paralelogram — adică sunt paralelogramuri cu ceva în plus. Asta înseamnă că tot ce înveți despre paralelogram se aplică și la ele.

Proprietățile paralelogramului — de ce sunt logice

Știu că lista de proprietăți pare ceva de memorat pe de rost. Dar dacă înțelegi de ce există fiecare, nu mai trebuie s-o memorezi — o deduci singur. Laturile opuse sunt egale — logic, pentru că sunt paralele și „simetrice” față de centru. Unghiurile opuse sunt egale — tot din același motiv. Unghiurile alăturate sunt suplementare — adică suma lor e  $180°$ . De ce? Pentru că laturile paralele, tăiate de o transversală, formează unghiuri suplementare — asta ai învățat la drepte paralele. Diagonalele se înjumătățesc reciproc — adică se taie exact la mijloc. Asta e proprietatea care apare cel mai des în exerciții. Dacă știi punctul de intersecție al diagonalelor, știi că el e mijlocul ambelor diagonale.

Aria și perimetrul — formulele pe care trebuie să le știi

Hai să vorbim despre ce confundă pe toată lumea: înălțimea. Nu e latura oblică. Înălțimea este distanța perpendiculară dintre cele două laturi paralele — adică o linie trasă cu unghiul drept față de bază. Dacă paralelogramul e „strâmb”, înălțimea e mai mică decât latura oblică. Vizualizează așa: dacă pui paralelogramul pe masă, înălțimea e cât de „înalt” e el — nu cât de lungă e muchia oblică. Acum formulele. Aria se calculează cu baza înmulțită cu înălțimea corespunzătoare acelei baze. Perimetrul e suma tuturor laturilor — adică de două ori  $a$  plus de două ori  $b$ , pentru că laturile opuse sunt egale.

$$𝒜=a\cdot h$$

$$P=2\cdot (a+b)$$

Unde  $a$  este baza,  $h$  este înălțimea corespunzătoare bazei  $a$ , și  $b$  este cealaltă latură.

Exemplu rezolvat pas cu pas

Greșeli frecvente

Exerciții rezolvate

1. Un paralelogram are baza  $a=10$  cm și înălțimea  $h=6$  cm. Calculează aria. (Răspuns:  $60{\text{ cm}}^2$ )
2. Paralelogramul  $ABCD$  are laturile  $AB=12$  cm și  $BC=7$  cm. Calculează perimetrul. (Răspuns:  $38\text{ cm}$ )
3. Aria unui paralelogram este  $48{\text{ cm}}^2$  și baza lui este  $8$  cm. Ce înălțime corespunde acestei baze? (Răspuns:  $h=6\text{ cm}$ )
4. Diagonalele unui paralelogram se intersectează în punctul  $O$ . Dacă  $AO=5$  cm și  $BO=4$  cm, cât măsoară diagonalele  $AC$  și  $BD$ ? (Răspuns:  $AC=10\text{ cm}$ ,  $BD=8\text{ cm}$ )

Întrebări frecvente