18. Scrierea fracțiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 sub formă de fracții zecimale. Transformarea unei fracții cu un număr finit de zecimale nenule într-o fracție ordinară.

Știi cum te uiți uneori la un număr zecimal și te întrebi de unde a apărut și ce vrea de la tine? Ei bine, lecția aceasta îți arată exact legătura dintre fracțiile ordinare cu numitori puteri ale lui 10 și forma lor zecimală — și invers. Vei vedea că transformarea unei fracții zecimale înapoi într-o fracție ordinară nu e magie, ci o regulă simplă pe care o poți aplica oricând. Util? Absolut — la teste, la probleme cu procente, ba chiar și când calculezi prețuri reduse la magazin. Odată ce înțelegi mecanismul, nu mai confunzi niciodată câte zerouri pui la numitor și câte cifre numeri după virgulă.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege de ce fracțiile cu numitori de tipul $10, 100, 1000$ se scriu atât de ușor ca fracții zecimale.
Vei ști să transformi o fracție ordinară cu numitor putere a lui 10 direct în scriere zecimală, fără calcule complicate.
Vei ști să transformi orice fracție zecimală cu un număr finit de zecimale nenule înapoi în fracție ordinară și să o simplifici.
Vei înțelege regula numărului de zerouri de la numitor și a cifrelor de după virgulă, ca să nu mai greșești niciodată poziția virgulei.

Exemplu rezolvat

Enunț

Scrie fracția $\dfrac{375}{1000}$ ca fracție zecimală, apoi transformă fracția zecimală $0{,}48$ în fracție ordinară ireductibilă.

Rezolvare

Partea I — fracție ordinară → zecimală:

\frac{375}{1000} = 0{,}375

Partea a II-a — fracție zecimală → fracție ordinară ireductibilă:

0{,}48 = \frac{48}{100}

\gcd(48,\, 100) = 4

\frac{48}{100} = \frac{48 \div 4}{100 \div 4} = \frac{12}{25}

Explicație

La primul pas, numărăm cele trei zerouri ale lui $1000$ și punem virgula cu trei poziții de la dreapta spre stânga în numărător. La al doilea pas, două cifre după virgulă înseamnă numitor $100$ . Apoi simplificăm fracția împărțind ambii termeni la cel mai mare divizor comun, $4$ , și obținem forma ireductibilă $\frac{12}{25}$ .

Idei cheie de reținut

Numărul de zerouri ale numitorului (putere a lui 10) este egal cu numărul de cifre de după virgulă în scrierea zecimală.
Pentru a transforma $0{,}48$ în fracție ordinară, scrii la numărător numărul format din cifrele zecimale ( $48$ ), iar la numitor $10^2 = 100$ , după care simplifici.
Simplifică mereu fracția obținută împărțind la $\gcd$ — altfel răspunsul, deși corect numeric, nu este în forma cerută la test.

Întrebări frecvente

Greșesc mereu poziția virgulei — cum să nu mai fac asta?

Numără zerourile numitorului și mută virgula spre stânga exact atâtea poziții din numărul de la numărător. Dacă numărătorul are mai puține cifre decât zerourile, completezi cu zerouri în față. De exemplu, $\frac{7}{1000} = 0{,}007$ — trei zerouri la numitor, deci trei cifre după virgulă.

Trebuie să simplific fracția după transformare sau e opțional?

La aproape orice problemă de test se cere forma ireductibilă, deci da — simplifică întotdeauna. Dacă uiți, poți pierde puncte chiar dacă fracția ta e echivalentă cu cea corectă. Găsești $\gcd$ rapid prin descompunere în factori primi sau prin algoritmul lui Euclid, pe care îl știi deja.

Ce diferență e între 0,3 și 0,30? Dau fracții diferite?

Nu, sunt același număr! $0{,}3 = \frac{3}{10}$ și $0{,}30 = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$ — aceeași fracție după simplificare. Zerourile de la sfârșitul părții zecimale nu schimbă valoarea. Totuși, în enunțuri de fizică sau chimie pot conta pentru precizie, dar la matematică pură sunt echivalente.

Matematică clasa a V-a

18. Scrierea fracțiilor ordinare cu numitori puteri ale lui 10 sub formă de fracții zecimale. Transformarea unei fracții cu un număr finit de zecimale nenule într-o fracție ordinară.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente