24. Ultima cifră a unei puteri. Ultima cifră a puterilor lui 2, 3, 7, 8

Știai că poți afla ultima cifră a lui $2^{100}$ fără să calculezi efectiv acea putere uriașă? Sună a magie, dar e matematică pură — și o vei stăpâni după ce urmărești această lecție video. Ultima cifră a unei puteri urmează un ciclu regulat, iar pentru bazele 2, 3, 7 și 8 există exact câte patru cifre care se repetă la infinit. Odată ce înveți să recunoști acest tipar, orice exponent — oricât de mare — devine ușor de gestionat. Lecția este ideală pentru pregătirea testelor și a olimpiadelor, unde astfel de probleme apar frecvent și par mult mai grele decât sunt în realitate.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege de ce ultima cifră a unei puteri se repetă ciclic și ce înseamnă concret un ciclu de periodicitate.
Vei ști să identifici ciclul ultimei cifre pentru bazele 2, 3, 7 și 8 (câte patru valori distincte pentru fiecare).
Vei ști să determini, folosind restul împărțirii exponentului la 4, ce cifră corespunde oricărei puteri date.
Vei exersa metoda pe exemple concrete și vei putea aplica tehnica rapid la orice problemă de concurs sau test.

Exemplu rezolvat

Enunț

Determină ultima cifră a lui $7^{2025}$ . Ce cifră se află în poziția unităților?

Rezolvare

Identificăm ciclul ultimelor cifre ale puterilor lui 7, apoi folosim restul împărțirii exponentului la 4:

7^1 \text{ are ultima cifră } 7

7^2 \text{ are ultima cifră } 9

7^3 \text{ are ultima cifră } 3

7^4 \text{ are ultima cifră } 1

7^5 \text{ are ultima cifră } 7 \quad

\Rightarrow \text{ ciclul se reia: } (7, 9, 3, 1)

2025 = 4 \cdot 506 + 1 \quad \Rightarrow \text{ restul este } 1

\text{Rest } 1

\Rightarrow \text{ ultima cifră a lui } 7^{2025} \text{ este } \mathbf{7}

Explicație

Ciclul ultimelor cifre ale puterilor lui $7$ are lungimea 4: $(7, 9, 3, 1)$ . Ca să știm unde ne aflăm în ciclu, împărțim exponentul la 4 și ne uităm la rest. Restul 1 corespunde primei cifre din ciclu, adică $7$ . Dacă restul ar fi fost 0, am fi ales ultima cifră din ciclu, adică $1$ . Simplu și elegant!

Idei cheie de reținut

Pentru bazele 2, 3, 7 și 8, ciclul ultimelor cifre are lungime 4 — memorează cele patru valori pentru fiecare bază și jumătate din problemă e rezolvată.
Împarte întotdeauna exponentul la 4 și folosește restul: restul 1→prima cifră, restul 2→a doua, restul 3→a treia, restul 0→a patra cifră din ciclu.
Nu ai nevoie să calculezi puterea efectivă — metoda funcționează pentru orice exponent, fie el 25 sau 2 025 000.

Întrebări frecvente

Ce fac când restul împărțirii la 4 este 0? Nu înseamnă că nu există o cifră?

Restul 0 este un caz special, dar deloc complicat: înseamnă că exponentul este multiplu de 4, deci ne aflăm la finalul ciclului. Alegi pur și simplu a patra cifră din șirul ciclului. De exemplu, pentru $2^{20}$ restul e 0, deci ultima cifră este $6$ — a patra din ciclul lui 2: $(2, 4, 8, 6)$ .

Cum țin minte ciclurile pentru 2, 3, 7 și 8 fără să le încurc?

Cel mai simplu e să le calculezi tu o singură dată pe foaie până le memorezi: ridici baza la puterea 1, 2, 3, 4 și notezi ultima cifră a fiecărui rezultat. După câteva exerciții le știi automat. Un truc: ciclul lui $8$ este oglinda ciclului lui $2$ , citit invers — $(8, 4, 2, 6)$ față de $(2, 4, 8, 6)$ .

Merge această metodă și pentru alte baze, nu doar 2, 3, 7, 8?

Da, ideea ciclului se aplică oricărei baze, dar lungimea ciclului poate fi diferită. Bazele care se termină în 1 sau 5 sau 6 au cicluri de lungime 1 — ultima cifră nu se schimbă niciodată. Pentru bazele care se termină în 2, 3, 7, 8 ciclul are lungime 4, ceea ce face aceste patru cazuri speciale și frecvente în probleme.

Matematică clasa a V-a

24. Ultima cifră a unei puteri. Ultima cifră a puterilor lui 2, 3, 7, 8

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente