4. Amplificarea și simplificarea fracțiilor. Fracții ireductibile

Știai că aceeași fracție poate arăta în zeci de moduri diferite și să aibă aceeași valoare? Exact asta explorăm astăzi: amplificarea și simplificarea fracțiilor, două operații care îți dau puterea să transformi orice fracție în forma care îți convine cel mai mult. Lecția video de pe această pagină îți arată pas cu pas cum să înmulțești sau să împarți numărătorul și numitorul cu același număr fără să schimbi valoarea fracției, și cum să ajungi la forma cea mai simplă posibilă — fracția ireductibilă. Vei scăpa de confuzia de la adunarea fracțiilor cu numitori diferiți și vei ști mereu când o fracție „nu mai poate fi simplificată”.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege de ce amplificarea și simplificarea nu schimbă valoarea unei fracții, ci doar aspectul ei.
Vei ști să amplifici o fracție cu orice număr natural nenul, pregătind-o pentru adunare sau scădere.
Vei ști să simplifici o fracție pas cu pas, folosind cel mai mare divizor comun al numărătorului și numitorului.
Vei recunoaște o fracție ireductibilă și vei putea demonstra că nu mai poate fi simplificată.

Exemplu rezolvat

Enunț

Simplifică fracția $\dfrac{84}{126}$ și verifică dacă rezultatul obținut este ireductibil.

Rezolvare

Găsim cel mai mare divizor comun, apoi împărțim ambii termeni:

84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7, \quad 126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7

\text{cmmdc}(84,\, 126) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42

\frac{84}{126} = \frac{84 : 42}{126 : 42} = \frac{2}{3}

\text{cmmdc}(2,\, 3) = 1

\Rightarrow \frac{2}{3} \text{ este ireductibilă}

Explicație

Secretul simplificării rapide stă în descompunerea în factori primi — îți arată instant ce au în comun numărătorul și numitorul. Când împarți ambii termeni la $\text{cmmdc}$ -ul lor, ajungi dintr-un singur pas la fracția ireductibilă, adică la forma în care $\text{cmmdc}$ dintre cei doi termeni este $1$ . Nicio altă simplificare nu mai este posibilă.

Idei cheie de reținut

Amplificarea înseamnă înmulțirea numărătorului și numitorului cu același număr nenul — fracția nu se modifică, doar se „îmbracă” altfel.
Simplificarea se face cel mai eficient împărțind direct la $\text{cmmdc}(numărător,\ numitor)$ , nu treptat la 2, 3, 5…
O fracție este ireductibilă dacă și numai dacă $\text{cmmdc}$ dintre numărător și numitor este egal cu $1$ .

Întrebări frecvente

Pot simplifica treptat, la 2 și la 3, în loc să calculez cmmdc-ul?

Poți, și uneori e mai rapid când numerele sunt mici. Riscul e că uiți un pas și crezi că ai terminat, deși fracția se mai poate simplifica. Dacă împarți direct la $\text{cmmdc}$ , ești sigur că ajungi la forma ireductibilă dintr-o singură mișcare — mai ales la test, unde timpul contează.

La ce îmi folosește amplificarea dacă fracția rămâne la fel?

Amplificarea e cheia adunării și scăderii fracțiilor cu numitori diferiți. Ca să aduci două fracții la același numitor, amplifici fiecare astfel încât ambele să aibă numitorul comun. Fără amplificare, nu poți face nimic cu $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4}$ , de exemplu.

Cum știu sigur că o fracție este ireductibilă și nu am greșit?

Verifici simplu: calculezi $\text{cmmdc}$ dintre numărătorul și numitorul fracției obținute. Dacă rezultatul este $1$ , ești pe drumul cel bun. Altă metodă rapidă: te uiți dacă cei doi termeni au vreun factor comun — dacă nu găsești niciunul, fracția e ireductibilă.

Matematică clasa a V-a

4. Amplificarea și simplificarea fracțiilor. Fracții ireductibile

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente