4. Criterii de divizibilitate: cu 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 la o putere

Știi acel moment când profesorul îți dă un număr mare și te întreabă dacă se împarte exact la 9 — și tu te uiți la el ca la un extraterestru? Ei bine, după lecția asta, o să fii tu cel care răspunde instant, fără să împarți nimic. Criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 sunt niște trucuri logice pe care matematicienii le-au descoperit ca să economisești timp și energie. Le vei folosi la simplificarea fracțiilor, la factorizare, la probleme de concurs și, da, la teste. Lecția e clară, cu exemple concrete și fără bătăi de cap — urmărești videoul și la final îți dai seama că matematica are uneori reguli aproape magice.

Ce vei învăța în această lecție

Vei ști să verifici instant dacă un număr se divide cu 2, 5 sau 10 doar uitându-te la ultima cifră.
Vei înțelege de ce suma cifrelor decide divizibilitatea cu 3 și cu 9, și cum aplici asta rapid.
Vei ști să verifici dacă un număr este divizibil cu 4 sau cu 25 analizând doar ultimele două cifre.
Vei putea combina criteriile pentru a rezolva exerciții complexe mai rapid și fără greșeli.

Exemplu rezolvat

Enunț

Se dă numărul $A = \overline{3x2y}$ , unde $x$ și $y$ sunt cifre. Găsește valorile cifrelor $x$ și $y$ astfel încât $A$ să fie divizibil simultan cu $4$ și cu $9$ .

Rezolvare

Aplicăm criteriul pentru 4 (ultimele două cifre) și criteriul pentru 9 (suma cifrelor):

\text{Criteriul pentru 4: } \overline{2y} \text{ trebuie să fie divizibil cu } 4

\overline{2y} \in \{20, 24, 28\} \Rightarrow y \in \{0, 4, 8\}

\text{Criteriul pentru 9: } 3 + x + 2 + y \text{ trebuie să fie divizibil cu } 9

5 + x + y \equiv 0 \pmod{9} \Rightarrow x + y \in \{4, 13\}

y = 0 \Rightarrow x = 4; \quad y = 4 \Rightarrow x =

0 \text{ sau } x = 9; \quad y = 8 \Rightarrow x = 5

\text{Soluții: } (x,y) \in \{(4,0),\ (0,4),\ (9,4),\ (5,8)\}

Explicație

Când un număr trebuie să îndeplinească două criterii deodată, le aplici pe rând și cauți valorile care satisfac ambele condiții. Criteriul pentru $4$ îți restrânge opțiunile pentru $y$ , iar criteriul pentru $9$ leagă $x$ de $y$ printr-o sumă. Verifici fiecare combinație posibilă — e ca un mini-sistem de condiții, nu calcule lungi.

Idei cheie de reținut

Divizibilitatea cu $2$ , $5$ și $10$ se vede doar din ultima cifră; cu $4$ și $25$ — din ultimele două cifre.
Pentru $3$ și $9$ calculezi suma tuturor cifrelor: dacă suma e divizibilă cu $3$ (respectiv $9$ ), atunci și numărul este.
Când exercițiul cere ca un număr să fie divizibil cu mai multe valori simultan, aplici criteriile pe rând și intersectezi soluțiile.

Întrebări frecvente

Cum știu dacă un număr mare se divide cu 9 fără să împart efectiv?

Aduni toate cifrele numărului. Dacă suma obținută e divizibilă cu $9$ , atunci și numărul original este. Poți repeta operația dacă suma tot e mare — până ajungi la o singură cifră. De exemplu, pentru $7524$ : $7+5+2+4=18$ , iar $18 \div 9 = 2$ . Deci $7524$ este divizibil cu $9$ .

Care criteriu e cel mai des greșit la teste și cum îl evit?

Criteriul pentru $4$ este cel mai frecvent confundat cu cel pentru $2$ . Mulți elevi verifică doar ultima cifră, dar pentru $4$ trebuie să te uiți la ultimele două cifre și să verifici dacă numărul format de ele se divide cu $4$ . De exemplu, $312$ — ultimele două cifre sunt $12$ , iar $12 \div 4 = 3$ . Deci $312$ este divizibil cu $4$ . Simplu, dacă ții minte regula corectă.

Criteriile funcționează și pentru numere care au cifre necunoscute (cu litere)?

Exact pentru asta sunt cel mai utile! Când numărul conține o cifră necunoscută, criteriul îți dă o condiție algebrică simplă. De exemplu, dacă vrei ca $\overline{5×3}$ să fie divizibil cu $3$ , scrii $5 + x + 3$ să fie multiplu de $3$ , adică $8 + x \in \{9, 12, 18\}$ , și obții $x \in \{1, 4, 7\}$ . Mult mai rapid decât să încerci toate cifrele pe rând.

Matematică clasa a V-a

4. Criterii de divizibilitate: cu 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25 la o putere

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente