9. Figuri congruente. Axa de simetrie.

Știi momentul când pliezi o foaie și cele două jumătăți se suprapun perfect? Ei bine, tocmai ai descoperit intuitiv ce sunt figurile congruente și axa de simetrie. Lecția aceasta îți arată cum să recunoști două figuri geometrice identice ca formă și dimensiune, indiferent de poziția lor, și cum să găsești linia magică față de care o figură se „oglindește” perfect. Vei scăpa de confuzia dintre figuri asemănătoare și figuri congruente, vei ști să verifici congruența pas cu pas și vei putea determina axa de simetrie atât pe figuri desenate, cât și pe probleme de concurs. Practic, după această lecție, exercițiile din testele de la clasă pe tema simetriei nu vor mai părea un mister.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege ce înseamnă că două figuri sunt congruente și prin ce diferă congruența de asemănare.
Vei ști să identifici elementele corespondente (laturi și unghiuri egale) ale două figuri congruente.
Vei ști să determini axa de simetrie a unei figuri și să verifici dacă o dreaptă dată este sau nu axă de simetrie.
Vei înțelege cum să construiești simetricul unui punct față de o dreaptă, baza oricărei probleme de simetrie.

Exemplu rezolvat

Enunț

Dreptunghiul $ABCD$ are $AB = 6\ \text{cm}$ și $BC = 4\ \text{cm}$ . Mijlocul laturii $AB$ este $M$ , iar mijlocul laturii $CD$ este $N$ . Arată că dreapta $MN$ este axă de simetrie a dreptunghiului și precizează cele două figuri congruente în care aceasta îl împarte.

Rezolvare

Fiecare pas separat:

AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3\ \text{cm}

DN = NC = \frac{CD}{2} = \frac{6}{2} = 3\ \text{cm}

\text{Dreptunghiul } ABCD \xrightarrow{MN} \text{dreptunghiul } AMND \text{ și dreptunghiul } MBCN

AM = MB = DN = NC = 3\ \text{cm},\quad AD = BC = 4\ \text{cm}

\Rightarrow AMND \equiv MBCN

Explicație

Deoarece $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor opuse, dreapta $MN$ împarte dreptunghiul în două dreptunghiuri cu laturile $3\ \text{cm}$ și $4\ \text{cm}$ . Cum au toate laturile și unghiurile egale între ele, cele două figuri sunt congruente, iar $MN$ este axă de simetrie: orice punct din $AMND$ are imaginea sa „oglindă” exact în $MBCN$ .

Idei cheie de reținut

Două figuri sunt congruente dacă au aceeași formă și aceleași dimensiuni — poți să „suprapui” una peste cealaltă fără nicio diferență.
Axa de simetrie este dreapta față de care figura se pliază perfect: fiecare punct al figurii are un corespondent la distanță egală de axă, de cealaltă parte.
Pentru a verifica o axă de simetrie, e suficient să controlezi că fiecare pereche de puncte corespondente se află la aceeași distanță perpendiculară față de dreapta respectivă.

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre figuri congruente și figuri asemănătoare? Le tot confund!

Figurile asemănătoare au aceeași formă, dar pot avea dimensiuni diferite — ca un triunghi mic și unul mare cu aceleași unghiuri. Figurile congruente sunt și egale ca dimensiune, nu doar ca formă. Practic, congruența este un caz particular de asemănare, în care raportul de asemănare este exact $1$ .

Cum știu câte axe de simetrie are o figură? La test mereu greșesc numărul.

Gândește-te câte moduri există să „pliezi” figura astfel încât cele două jumătăți să se suprapună perfect. Un dreptunghi are $2$ axe, un pătrat are $4$ , un triunghi echilateral are $3$ , iar un cerc are infinit de multe. Dacă figura nu este regulată, trasează mental fiecare linie posibilă și verifică simetria pentru fiecare în parte.

La construcția simetricului unui punct față de o dreaptă, de unde încep?

Pasul fix este mereu același: duci perpendiculara din punct pe axă, găsești piciorul perpendicularei (să-i zicem $P'$ ), apoi marchezi punctul simetric la aceeași distanță de $P'$ , dar de cealaltă parte. Distanța de la punct la axă = distanța de la simetric la axă. Asta e tot — nu e nimic mai complicat de atât.

Matematică clasa a V-a

9. Figuri congruente. Axa de simetrie.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente