10. Perpendicularitate. 1) Drepte perpendiculare. 2) Distanța de la un punct la o dreaptă. 3) Mediatoarea

Două drepte care se întâlnesc formând un unghi drept — asta înseamnă perpendicularitate, și o vei recunoaște peste tot: la colțul unui caiet, la intersecția străzilor, la un raft montat corect pe perete. Lecția aceasta îți arată cum să lucrezi cu drepte perpendiculare, cum se măsoară distanța de la un punct la o dreaptă (distanța cea mai scurtă, nu oricare!) și ce este mediatoarea unui segment — acea dreaptă specială care taie segmentul exact pe jumătate în unghi drept. Dacă ai avut vreodată nevoie să construiești ceva simetric sau să calculezi cea mai scurtă cale dintre un punct și o linie, răspunsul îl găsești chiar aici.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege ce înseamnă două drepte perpendiculare și cum le recunoști după unghiul drept format.
Vei ști să determini distanța de la un punct la o dreaptă folosind perpendiculara dusă din acel punct.
Vei înțelege definiția mediatoarei unui segment și proprietatea ei principală: orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de cele două capete ale segmentului.
Vei ști să construiești cu rigla și compasul atât perpendiculara dintr-un punct pe o dreaptă, cât și mediatoarea unui segment dat.

Exemplu rezolvat

Enunț

Pe dreapta $d$ se află punctul $A$ , iar în afara dreptei se află punctul $P$ astfel încât $PA = 10$ cm și $PA$ face un unghi de $30°$ cu dreapta $d$ . Calculează distanța de la punctul $P$ la dreapta $d$ .

Rezolvare

Fie $H$ piciorul perpendicularei din $P$ pe dreapta $d$ . Distanța de la $P$ la $d$ este $PH$ .

\angle PAH = 30°, \quad PA = 10 \text{ cm}

PH = PA \cdot \sin(30°)

PH = 10 \cdot \frac{1}{2}

PH = 5 \text{ cm}

Explicație

Distanța de la un punct la o dreaptă este întotdeauna lungimea perpendicularei, adică segmentul $PH$ . Fiindcă $PH \perp d$ , triunghiul $PAH$ este dreptunghic în $H$ , iar $PH$ este cateta opusă unghiului de $30°$ . Aplicăm direct relația din trigonometrie: cateta opusă egal ipotenuza înmulțită cu sinusul unghiului. Rezultatul, $5$ cm, este cea mai scurtă distanță posibilă.

Idei cheie de reținut

Două drepte sunt perpendiculare dacă se intersectează și formează un unghi de $90°$ ; notăm $d_1 \perp d_2$ .
Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea segmentului perpendicular dus din acel punct pe dreaptă — mereu mai mică decât orice altă distanță oblică.
Mediatoarea unui segment $AB$ este dreapta perpendiculară pe $AB$ în mijlocul său; orice punct $M$ de pe mediatoare satisface $MA = MB$ .

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre mediatoare și înălțimea unui triunghi?

Ambele sunt perpendiculare, dar nu pe aceeași bază. Înălțimea unui triunghi coboară dintr-un vârf perpendicular pe latura opusă, fără să treacă neapărat prin mijlocul ei. Mediatoarea pornește din mijlocul unui segment și este perpendiculară pe el, fără să aibă legătură directă cu un vârf. Confuzia e frecventă — ține minte: mediatoarea iubește mijlocul segmentului.

De ce distanța de la un punct la o dreaptă este segmentul perpendicular și nu altul?

Dintr-un punct exterior poți duce infinit de multe segmente spre o dreaptă, dar cel mai scurt dintre toate este întotdeauna perpendiculara. Asta se demonstrează cu teorema lui Pitagora: orice segment oblic devine ipotenuza unui triunghi dreptunghic, deci e mai lung decât cateta perpendiculară. Intuiție rapidă: drumul drept e mereu mai scurt decât cel în diagonală.

Cum știu dacă am construit corect mediatoarea cu compasul?

Faci două arce de cerc cu aceeași deschidere a compasului, centrate în capetele segmentului $AB$ . Dacă arcele se intersectează în două puncte, dreapta care unește acele puncte este mediatoarea. Verificare rapidă: măsoară cu rigla distanța de la un punct al mediatoarei la $A$ și la $B$ — dacă sunt egale, construcția e corectă.

Matematică clasa a VI-a

10. Perpendicularitate. 1) Drepte perpendiculare. 2) Distanța de la un punct la o dreaptă. 3) Mediatoarea

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente