8. Înălțimile unui triunghi.

Știai că orice triunghi are exact trei înălțimi, iar uneori acestea se întâlnesc chiar în afara triunghiului? Lecția aceasta îți explică pas cu pas ce sunt înălțimile unui triunghi, cum le trasezi corect (indiferent că triunghiul e ascuțitunghic, dreptunghic sau obtuzunghic) și unde se întâlnesc ele — în punctul numit ortocentru. Dacă la geometrie te-ai împiedicat vreodată când profesorul a cerut să duci o înălțime dintr-un vârf și nu știai exact ce să faci, lecția asta îți rezolvă fix confuzia asta. Vei lucra cu exemple desenate clar, vei înțelege de ce perpendiculara pe o latură este elementul cheie și vei fi pregătit să rezolvi orice exercițiu cu înălțimi la test.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege definiția precisă a înălțimii unui triunghi și ce înseamnă că este perpendiculară pe latura corespunzătoare.
Vei ști să trasezi toate cele trei înălțimi ale unui triunghi, inclusiv în cazul triunghiurilor obtuzunghice unde înălțimea cade în exteriorul triunghiului.
Vei înțelege ce este ortocentrul și de ce toate cele trei înălțimi sunt concurente.
Vei ști să identifici înălțimea unui triunghi dreptunghic direct din figură, fără calcule suplimentare.

Exemplu rezolvat

Enunț

Triunghiul $ABC$ are $AB = 10$ cm, iar înălțimea dusă din vârful $C$ pe latura $AB$ are lungimea $h_c = 6$ cm. Calculează aria triunghiului, apoi determină lungimea înălțimii $h_a$ duse din vârful $A$ pe latura $BC = 8$ cm.

Rezolvare

Calculăm aria folosind baza $AB$ și înălțimea $h_c$ , apoi găsim $h_a$ din aceeași arie:

\mathcal{A} = \frac{AB \cdot h_c}{2} = \frac{10 \cdot 6}{2}

\mathcal{A} = \frac{60}{2} = 30 \text{ cm}^2

\mathcal{A} = \frac{BC \cdot h_a}{2}

\Rightarrow 30 = \frac{8 \cdot h_a}{2}

h_a = \frac{30 \cdot 2}{8} = \frac{60}{8} = 7{,}5 \text{ cm}

Explicație

Trucul central: aria unui triunghi se poate calcula cu oricare bază și înălțimea ei corespunzătoare. Odată ce știi aria, o „întorci” pentru a afla orice înălțime necunoscută — izolezi $h_a$ din formula $\mathcal{A} = \frac{bază \cdot înălțime}{2}$ . Aceeași arie, două perspective diferite — acesta este raționamentul pe care trebuie să-l automatizezi.

Idei cheie de reținut

Înălțimea unui triunghi este segmentul perpendicular dus dintr-un vârf pe dreapta suport a laturii opuse — nu confunda cu mediana sau bisectoarea!
Într-un triunghi obtuzunghic, două dintre înălțimi cad în exteriorul triunghiului; piciorul înălțimii nu se află pe latură, ci pe prelungirea ei.
Cele trei înălțimi ale oricărui triunghi sunt concurente în ortocentru — în triunghiul ascuțitunghic ortocentrul e interior, în cel obtuzunghic e exterior, în cel dreptunghic coincide cu vârful unghiului drept.

Întrebări frecvente

Cum trasez înălțimea dacă piciorul ei cade în afara triunghiului?

Prelungești latura opuse vârfului din care duci înălțimea, apoi cobori perpendiculara pe acea dreaptă (nu pe segment!). Piciorul înălțimii va fi pe prelungire, nu între cele două vârfuri ale laturii. Asta se întâmplă mereu când unghiul din vârful respectiv este obtuz — desenează figura mare și vei vedea imediat.

Care e diferența dintre înălțime, mediană și bisectoare? Le tot confund!

Simplu: înălțimea face unghi de $90°$ cu latura opusă; mediana merge la mijlocul laturii opuse; bisectoarea împarte unghiul în două părți egale. Sunt trei lucruri complet diferite care, doar în triunghiul echilateral, coincid. La orice alt triunghi — trasezi fiecare după definiția ei exactă.

La test mi se cere ortocentrul — cum îl găsesc practic?

Trasezi cel puțin două înălțimi ale triunghiului (cu rigla și echerul, asigurându-te că fac $90°$ cu latura respectivă). Punctul unde se intersectează cele două înălțimi este ortocentrul. A treia înălțime trece automat prin același punct — poți s-o folosești ca verificare dacă ai timp.

Matematică clasa a VI-a

8. Înălțimile unui triunghi.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente