8. Mărimi direct proporționale. Mărimi invers proporționale. Regula de trei simplă.

Ai ajuns la una dintre cele mai practice lecții din matematica gimnaziului — mărimi direct proporționale, mărimi invers proporționale și regula de trei simplă sunt uneltele cu care rezolvi probleme din viața reală: cât costă 7 kg dacă știi prețul la 3 kg, în câte ore termină un grup de muncitori o lucrare față de altul. Lecția video îți arată pas cu pas cum recunoști tipul de proporționalitate, cum construiești corect rapoartele și cum aplici regula de trei simplă fără să confunzi sensul variației. Dacă până acum ai ghicit cumva răspunsul, după această lecție vei ști exact de ce funcționează metoda.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege diferența dintre mărimi direct proporționale și mărimi invers proporționale după modul în care variază una față de cealaltă.
Vei ști să identifici rapid, dintr-o problemă, dacă trebuie să folosești proporționalitatea directă sau inversă.
Vei ști să aplici regula de trei simplă corect, construind proporția în ordinea potrivită.
Vei înțelege de ce la proporționalitatea inversă „întorci” raportul și nu îl lași ca la cea directă.

Exemplu rezolvat

Enunț

Un șantier poate fi finalizat în $24$ de zile de $18$ muncitori. Câte zile ar fi necesare dacă pe șantier ar lucra doar $12$ muncitori, cu același ritm de lucru?

Rezolvare

Numărul de muncitori și numărul de zile sunt mărimi invers proporționale — mai puțini muncitori înseamnă mai multe zile.

\frac{x}{24} = \frac{18}{12}

x = 24 \cdot \frac{18}{12}

x = 24 \cdot 1{,}5

x = 36 \text{ zile}

Explicație

La proporționalitatea inversă, raportul mărimilor de același tip se „întoarce”: scriem $\frac{18}{12}$ în locul lui $\frac{12}{18}$ . Gândește-te simplu — dacă jumătăți muncitorii, zilele se dublează. Tocmai de aceea înmulțim $24$ cu raportul mai-mare-peste-mai-mic, nu invers. Verificarea rapidă: $18 \cdot 24 = 12 \cdot 36 = 432$ ✓

Idei cheie de reținut

Dacă o mărime crește și cealaltă crește în același raport — proporționalitate directă; dacă una crește și cealaltă scade — proporționalitate inversă.
La regula de trei simplă directă scrii $\frac{x}{a} = \frac{b}{c}$ ; la cea inversă „întorci” un raport: $\frac{x}{a} = \frac{c}{b}$ .
Înainte de orice calcul, pune-ți întrebarea: „Dacă măresc o valoare, cealaltă crește sau scade?” — răspunsul îți spune ce tip de proporționalitate aplici.

Întrebări frecvente

Cum știu sigur dacă e directă sau inversă? Tot îmi confund sensul.

Inventează un exemplu mic cu numere simple. Dacă cumperi de 2 ori mai multe mere, plătești de 2 ori mai mult — direct. Dacă lucrează de 2 ori mai mulți oameni, termini în jumătate din timp — invers. Înainte de orice problemă, fă acest test de 5 secunde în minte și nu vei mai greși sensul.

La test am scris proporția invers și am pierdut puncte. Ce să fac data viitoare?

Verifică întotdeauna rezultatul cu produsul: la proporționalitate directă $a \cdot d = b \cdot c$ (produsul extremilor egal produsul mijlocilor), iar la cea inversă $a \cdot b = c \cdot d$ (produsul perechilor). Dacă egalitatea nu ține, ai construit proporția greșit — prinde eroarea înainte să predai lucrarea.

Regula de trei simplă se folosește și la procente sau doar la probleme „clasice”?

Se folosește absolut peste tot — procente, schimb valutar, rețete de gătit, viteze, hărți cu scări. De fiecare dată când ai două mărimi legate și o valoare necunoscută, regula de trei simplă funcționează. La procente, de exemplu, scrii direct $\frac{x}{100} = \frac{\text{parte}}{\text{întreg}}$ și rezolvi ca oricare altă proporție.

Matematică clasa a VI-a

8. Mărimi direct proporționale. Mărimi invers proporționale. Regula de trei simplă.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente