1. Produsul cartezian a două mulțimi nevide. Sistemul de axe ortogonale XOY.

Matematica devine brusc mai vizuală când înveți să lucrezi cu perechi de numere și să le reprezinți pe un plan. Această lecție video te introduce în două concepte care merg mână în mână: produsul cartezian a două mulțimi nevide și sistemul de axe ortogonale XOY. Vei înțelege cum se formează perechile ordonate, de ce ordinea contează (și nu e același lucru $(2,5)$ cu $(5,2)$ !), și cum să „dai o adresă” oricărui punct de pe un plan. De acum, graficele, funcțiile și geometria analitică nu vor mai părea un mister. Lecția e construită pas cu pas, cu exemple clare, astfel că poți reveni oricând ai nevoie să recapitulezi.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege ce este produsul cartezian a două mulțimi nevide și cum se formează mulțimea perechilor ordonate.
Vei ști să construiești corect sistemul de axe ortogonale XOY, identificând axa $O x$ , axa $O y$ și originea $O$ .
Vei ști să reprezinți grafic orice pereche ordonată $(x, y)$ în planul cartezian.
Vei înțelege de ce perechile ordonate nu sunt interschimbabile și cum această regulă influențează reprezentarea punctelor.

Exemplu rezolvat

Enunț

Fie mulțimile $A = {1, 3}$ și $B = {2, 4}$ . Scrie toate elementele produsului cartezian $A \times B$ , apoi reprezintă-le în sistemul de axe ortogonale XOY, considerând prima componentă pe axa $O x$ și a doua pe axa $O y$ .

Rezolvare

Fiecare pas separat:

$A \times B = {(a, b) | a \in A, b \in B}$
$A \times B = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4)}$
$Punctele în plan: P_{1} (1,2), P_{2} (1,4), P_{3} (3,2), P_{4} (3,4)$
$| A \times B | = | A | \cdot | B | = 2 \cdot 2 = 4 perechi ordonate$

Explicație

Combinăm fiecare element din $A$ cu fiecare element din $B$ , respectând ordinea: primul număr vine întotdeauna din $A$ , al doilea din $B$ . Numărul total de perechi este produsul cardinalelor celor două mulțimi. Când plasăm punctele pe axe, prima componentă ne spune cât mergem pe orizontală, a doua — cât mergem pe verticală.

Idei cheie de reținut

Într-o pereche ordonată $(a, b)$ , ordinea este esențială: $(a, b) \neq (b, a)$ dacă $a \neq b$ .
Numărul de elemente din $A \times B$ este întotdeauna $| A | \cdot | B |$ — înmulțești cardinalele.
În sistemul XOY, prima componentă a perechii indică poziția pe axa $O x$ (orizontală), iar a doua — pe axa $O y$ (verticală).

Întrebări frecvente

De ce contează ordinea în perechea ordonată? Nu e tot una (2,5) cu (5,2) ?

Nu e același lucru! Perechea $(2,5)$ înseamnă: mergi 2 unități pe orizontală și 5 pe verticală. Perechea $(5,2)$ te duce în cu totul alt punct al planului. Dacă ai o hartă și confunzi coordonatele, ajungi în locul greșit — exact același principiu se aplică și în matematică.

Este același lucru A×B cu B×A ?

De obicei, nu. $A \times B$ conține perechi

Matematică clasa a VII-a

1. Produsul cartezian a două mulțimi nevide. Sistemul de axe ortogonale XOY.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente