11. Modulul unui număr real.

Știi acel moment când calculezi o distanță și îți dai seama că nu contează dacă mergi spre stânga sau spre dreapta — rezultatul e tot pozitiv? Exact asta captează modulul unui număr real: distanța față de zero pe axa numerelor, indiferent de semn. În lecția video de astăzi vei vedea cum funcționează această noțiune, cum se calculează pentru orice număr — pozitiv, negativ sau zero — și cum rezolvi ecuații și inecuații care conțin modul. E una dintre acele definiții simple la suprafață, dar cu surprize când începi să o aplici în exerciții mai complexe.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege definiția modulului unui număr real și ce reprezintă geometric pe axa numerelor.
Vei ști să calculezi modulul oricărui număr real, inclusiv al expresiilor algebrice.
Vei ști să rezolvi ecuații de tipul $|x – a| = b$ urmând pașii corecți.
Vei înțelege de ce modulul nu poate fi niciodată negativ și cum folosești această proprietate în verificări.

Exemplu rezolvat

Enunț

Rezolvă ecuația $|2x – 6| = 4$ și verifică soluțiile obținute.

Rezolvare

Descompunem ecuația în două cazuri, conform definiției modulului:

|2x – 6| = 4 \Rightarrow 2x – 6 = 4 \quad \text{sau} \quad 2x – 6 = -4

\textbf{Cazul 1:} \quad 2x – 6 = 4 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5

\textbf{Cazul 2:} \quad 2x – 6 = -4 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1

\textbf{Verificare:} \quad |2 \cdot 5 – 6| = |4| =

4 \checkmark \quad \text{și} \quad |2 \cdot 1 – 6| = |-4| = 4 \checkmark

Explicație

Cheia este că $|A| = b$ cu $b \geq 0$ înseamnă că expresia din interior poate fi ori $+b$ , ori $-b$ — deci mereu două cazuri. Rezolvi fiecare ecuație simplă separat și verifici ambele soluții la final. Dacă $b < 0$ , ecuația n-are soluții, pentru că modulul nu produce niciodată valori negative.

Idei cheie de reținut

$|x| \geq 0$ pentru orice număr real $x$ — modulul nu este niciodată negativ.
Dacă $x \geq 0$ , atunci $|x| = x$ ; dacă $x < 0$ , atunci $|x| = -x$ (adică opusul lui, care iese pozitiv).
La ecuații cu modul, desparte întotdeauna în două cazuri și verifică soluțiile la final.

Întrebări frecvente

De ce modulul lui

-5

este

5

și nu

-5

Modulul măsoară distanța față de zero, iar distanța nu poate fi negativă. Când spui că $-5$ se află la 5 unități față de zero, nu îți pasă de direcție — contează doar cât de departe ești. Definiția spune: dacă numărul e negativ, îi schimbi semnul, și obții automat o valoare pozitivă.

Care este greșeala cea mai frecventă când rezolv ecuații cu modul?

Mulți elevi uită să scrie al doilea caz — cel cu valoarea negativă — și găsesc o singură soluție în loc de două. Altă capcană: dacă termenul liber din ecuație este negativ (ex: $|2x+1| = -3$ ), nu există nicio soluție, dar unii continuă să calculeze fără să verifice condiția $b \geq 0$ .

Am văzut exerciții cu

|x|

la inecuații — e același principiu?

Da, logica e aceeași, dar regulile de descompunere diferă ușor. La $|x| < b$ obții un interval: $-b < x < b$ . La $|x| > b$ obții reuniunea a două intervale: $x < -b$ sau $x > b$ . Veți aprofunda inecuațiile cu modul în lecțiile următoare — acum e important să stăpânești bine ecuațiile.

Matematică clasa a VII-a

11. Modulul unui număr real.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente