2. Teorema catetei.

Teorema catetei este unul dintre cele mai elegante rezultate din geometria triunghiului dreptunghic — și, odată ce o înțelegi, o vei recunoaște instantaneu în zeci de probleme de examen. Lecția video de față îți arată exact cum să calculezi o catetă atunci când cunoști ipotenuza și proiecția acelei catete pe ipotenuză. Mulți elevi se blochează tocmai la acest pas, pentru că formula pare abstractă la prima vedere. Profesoara îți explică pas cu pas de unde vine relația, cum o memorezi fără să o confunzi cu teorema înălțimii și cum o aplici rapid, chiar și când enunțul e formulat mai complicat. Urmărești demonstrația vizuală, rezolvi un exemplu complet și ieși din lecție cu metoda clară în cap.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege de ce există relația dintre catetă, ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză.
Vei ști să identifici corect proiecțiile catetelor pe ipotenuză într-o figură geometrică.
Vei ști să aplici formula $a^2 = c \cdot m$ (și varianta pentru cealaltă catetă) în exerciții concrete.
Vei înțelege cum să nu confunzi teorema catetei cu teorema înălțimii la rezolvarea problemelor.

Exemplu rezolvat

Enunț

În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $\angle A = 90°$ , ipotenuza $BC = 13$ cm, iar proiecția catetei $AB$ pe ipotenuză este $BH = 5$ cm. Calculează lungimea catetei $AB$ .

Rezolvare

Aplicăm teorema catetei pentru cateta AB:

AB^2 = BC \cdot BH

AB^2 = 13 \cdot 5

AB^2 = 65

AB = \sqrt{65} \text{ cm}

Explicație

Formula spune că pătratul unei catete este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză. Identifici corect cei doi factori — ipotenuza întreagă ( $BC$ ) și proiecția catetei dorite ( $BH$ ) — îi înmulțești, apoi extregi radical. $\sqrt{65}$ nu se simplifică, deci acesta este rezultatul final exact.

Idei cheie de reținut

Formula teoremei catetei: $a^2 = c \cdot m$ , unde $c$ este ipotenuza și $m$ este proiecția catetei $a$ pe ipotenuză — nu confunda cu formula înălțimii $h^2 = m \cdot n$ .
Fiecare catetă are propria proiecție pe ipotenuză; dacă problema îți dă proiecția celeilalte catete, folosești cealaltă variantă a formulei: $b^2 = c \cdot n$ .
Când rezultatul de sub radical nu este un pătrat perfect, lasă răspunsul sub formă de radical simplificat — nu rotunzi dacă nu ți se cere explicit.

Întrebări frecvente

Cum știu dacă să folosesc teorema catetei sau teorema înălțimii?

Simplu: dacă problema te întreabă de o catetă, folosești teorema catetei ( $a^2 = c \cdot m$ ). Dacă te întreabă de înălțimea dusă din vârful unghiului drept, folosești teorema înălțimii ( $h^2 = m \cdot n$ ). Uită-te întotdeauna la ce mărime cauți înainte să scrii orice formulă.

Ce fac dacă nu știu care este proiecția catetei pe ipotenuză?

Desenează figura și coboară înălțimea din vârful unghiului drept pe ipotenuză — obții piciorul $H$ . Proiecția catetei $AB$ este segmentul $BH$ , iar proiecția catetei $AC$ este segmentul $HC$ . Dacă lucrezi direct pe desen, nu mai există confuzie.

Care este cea mai frecventă greșeală la această teoremă?

Elevii înmulțesc cele două proiecții în loc să înmulțească ipotenuza cu proiecția catetei căutate. Adică scriu $AB^2 = BH \cdot HC$ — aceea e formula înălțimii! Reține: pentru catetă, unul dintre factori este mereu ipotenuza întreagă, nu segmentul rămas.

Matematică clasa a VII-a

2. Teorema catetei.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente