6. Tangente duse dintr-un punct exterior la un cerc. Cerc înscris în triunghi.

Știi acel moment când desenezi un cerc și un punct în afara lui și te întrebi câte drepte poți duce prin acel punct astfel încât să „atingă” cercul fără să-l taie? Exact asta explorăm azi: tangentele duse dintr-un punct exterior la un cerc și cercul înscris în triunghi. Lecția video îți arată pas cu pas cum funcționează aceste tangente, ce proprietăți speciale au și cum se construiește un cerc care se „lipește” perfect de toate cele trei laturi ale unui triunghi. Vei putea rezolva probleme în care trebuie să calculezi lungimi de segmente tangente sau raza cercului înscris — exerciții care apar frecvent la evaluări și la olimpiade. Dacă până acum geometria cu cercuri ți se părea abstractă, după această lecție totul va face sens vizual și logic.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege ce înseamnă o tangentă dusă dintr-un punct exterior la un cerc și de câte astfel de tangente există.
Vei ști să demonstrezi și să folosești proprietatea că segmentele de tangentă duse din același punct exterior sunt egale.
Vei înțelege ce este cercul înscris în triunghi și cum se determină centrul și raza lui.
Vei ști să calculezi lungimile segmentelor determinate de punctele de tangență pe laturile unui triunghi.

Exemplu rezolvat

Enunț

Triunghiul $ABC$ are laturile $a = BC = 8$ cm, $b = CA = 7$ cm și $c = AB = 5$ cm. Cercul înscris în triunghi atinge latura $AB$ în punctul $T$ . Calculează lungimea segmentului $AT$ .

Rezolvare

Notăm punctele de tangență: cercul atinge $BC$ în $T_a$ , $CA$ în $T_b$ , $AB$ în $T_c = T$ . Folosim proprietatea segmentelor de tangentă egale din același vârf:

AT = AT_b = x, \quad BT = BT_a = y, \quad CT_a = CT_b = z

x + y = c = 5, \quad y + z = a = 8, \quad x + z = b = 7

x + y + z = \frac{5 + 8 + 7}{2} = 10

x = 10 – 8 = 2 \text{ cm}

Explicație

Cheia e că din fiecare vârf al triunghiului poți duce două tangente la cercul înscris, iar acestea sunt întotdeauna egale. Asta ne dă un sistem de trei ecuații. Adunând toate trei obținem semiperimtrul $s = 10$ , iar $x = AT$ se află scăzând latura opusă vârfului $A$ , adică $a = 8$ , din $s$ .

Idei cheie de reținut

Din orice punct exterior unui cerc se pot duce exact două tangente, iar segmentele de tangentă de la acel punct până la punctele de tangență sunt egale.
Centrul cercului înscris în triunghi (numit incenter) este intersecția bisectoarelor unghiurilor triunghiului și se notează de obicei cu $I$ .
Dacă notezi $s$ semiperimtrul triunghiului, lungimea tangentei de la vârful $A$ este $s – a$ , de la $B$ este $s – b$ , iar de la $C$ este $s – c$ .

Întrebări frecvente

De ce segmentele de tangentă din același punct sunt egale? Nu pare evident deloc.

Gândește-te la triunghiurile dreptunghice formate de raza cercului, segmentul de tangentă și dreapta dintre centru și punctul exterior. Ambele triunghiuri au aceeași ipotenuză (distanța de la centru la punct) și un catete egal (raza $r$ ). Prin teorema lui Pitagora rezultă că și celălalt catete — adică segmentul de tangentă — este același în ambele triunghiuri.

Cum știu dacă un cerc este înscris sau circumscris unui triunghi? Le confund mereu.

Simplu: cercul înscris stă înăuntrul triunghiului și atinge fiecare latură într-un singur punct — laturile sunt tangente la cerc. Cercul circumscris trece prin cele trei vârfuri ale triunghiului. Reține: înscris = înăuntru, laturile ating cercul; circumscris = vârfurile sunt pe cerc.

Care e cea mai frecventă greșeală la probleme cu cerc înscris în triunghi?

Elevii uită că formula $AT = s – a$ se referă la latura opusă vârfului $A$ , nu la latura care pleacă din $A$ . Dacă amesteci indicii, toate calculele ies greșite. Scrie întotdeauna explicit: $a = BC$ , $b = CA$ , $c = AB$ înainte să înlocuiești în formulă — îți salvează câteva puncte la test.

Matematică clasa a VII-a

6. Tangente duse dintr-un punct exterior la un cerc. Cerc înscris în triunghi.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente