13. Inecuații de forma ax+b=0, a, b, numere reale.

Știai că multe probleme din viața reală se traduc printr-o inecuație? Când îți calculezi bugetul, când compari prețuri sau când rezolvi un concurs de matematică, ai nevoie exact de ce înveți azi. Lecția aceasta te plimbă pas cu pas prin inecuații de forma ax + b < 0 (sau ≤, >, ≥), unde a și b sunt numere reale. O să vedem împreună cum izolăm necunoscuta, de ce schimbăm sensul inegalității când împărțim la un număr negativ — greșeala clasică! — și cum scriem soluția corect, pe axa numerelor. După ce urmărești filmulețul, exercițiile care ți se par acum misterioase o să devină rutină.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege diferența dintre o ecuație și o inecuație și ce înseamnă „mulțimea soluțiilor”.
Vei ști să aplici pașii de rezolvare pentru orice inecuație de forma ax + b < 0, indiferent de valorile lui a și b.
Vei ști să identifici când sensul inegalității se schimbă și de ce se întâmplă asta.
Vei înțelege cum se reprezintă soluția pe axa numerelor și cum se notează ca interval.

Exemplu rezolvat

Enunț

Rezolvă inecuația $- 3 x + 6 \leq 0$ și reprezintă soluția pe axa numerelor.

Rezolvare

Fiecare pas, separat:

$- 3 x + 6 \leq 0$
$- 3 x \leq 0 - 6$
$- 3 x \leq - 6$
$x \geq 2$

Explicație

Am mutat termenul liber în dreapta scăzând 6 din ambii membri. Apoi am împărțit prin $- 3$ — număr negativ — și sensul inegalității s-a inversat: $\leq$ a devenit $\geq$ . Soluția este intervalul $[2, + \infty)$ , adică toate numerele reale mai mari sau egale cu 2, reprezentate pe axă cu un punct plin în 2 și săgeată spre dreapta.

Idei cheie de reținut

Când împarți sau înmulțești ambii membri ai unei inecuații cu un număr negativ, sensul inegalității se inversează obligatoriu.
Dacă $a = 0$ , inecuația nu mai depinde de $x$ : verifici doar dacă $b \leq 0$ este adevărat sau fals, iar soluția este fie $ℝ$ , fie mulțimea vidă.
Soluția unei inecuații nu e un număr, ci o mulțime de numere — scrie-o întotdeauna ca interval sau pe axă.

Întrebări frecvente

De ce se inversează inegalitatea când împart la un număr negativ?

Gândește-te simplu: 2 < 4

ParseError: Expected 'EOF', got '&' at position 3:
2 &̲lt; 4 . Dacă înmulțești cu $- 1$ , obții $- 2$ și $- 4$ . Pe axă, $- 2$ este mai mare decât $- 4$ , deci inegalitatea se întoarce. Această regulă nu e o convenție arbitrară — e o consecință directă a modului în care funcționează numerele negative pe axă.

Ce fac dacă a = 0 în inecuația ax + b ≤ 0?

Dispare termenul cu $x$ și rămâi cu inecuația $b \leq 0$ . Dacă aceasta e adevărată (de exemplu $b = - 5$ ), atunci orice valoare a lui $x$ e soluție — mulțimea soluțiilor este $ℝ$ . Dacă e falsă (de exemplu $b = 3$ ), inecuația nu are nicio soluție.