15. Funcții, exerciții. Triunghiul format de axele de coordonate și graficul funcției.

Știi deja ce este o funcție de gradul I și cum arată graficul ei — o dreaptă. Dar ce se întâmplă când acea dreaptă „taie” ambele axe ale sistemului de coordonate? Se formează un triunghi, iar în lecția de azi lucrăm exact pe asta: exerciții cu funcții și determinarea triunghiului format de axele de coordonate și graficul funcției. Vei vedea cum găsești coordonatele punctelor de intersecție cu axele, cum calculezi aria acestui triunghi și de ce toate aceste lucruri nu sunt chiar atât de complicate pe cât par la prima vedere. E genul de problemă care apare des la teze și la evaluări — și după lecția asta o vei recunoaște instant.

Ce vei învăța în această lecție

Vei ști să determini punctele de intersecție ale graficului unei funcții cu axa Ox și cu axa Oy.
Vei înțelege cum se construiește triunghiul format de axele de coordonate și graficul funcției și ce îl definește geometric.
Vei ști să calculezi aria acestui triunghi folosind coordonatele punctelor găsite.
Vei exersa rezolvarea pas cu pas a unor exerciții complete, de la funcție până la arie.

Exemplu rezolvat

Enunț

Se dă funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 2x – 4$ . Determină coordonatele punctelor în care graficul funcției intersectează axele de coordonate, apoi calculează aria triunghiului format de aceste axe și graficul funcției.

Rezolvare

Intersecția cu Oy (x = 0), apoi cu Ox (y = 0), apoi aria triunghiului:

f(0) = 2 \cdot 0 – 4 = -4 \Rightarrow A(0,\ -4)

2x – 4 = 0 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow B(2,\ 0)

OA = |{-4}| = 4, \quad OB = |2| = 2

\mathcal{A} = \frac{OA \cdot OB}{2} = \frac{4 \cdot 2}{2} =

4 \text{ u.s.}

Explicație

Ca să găsim intersecția cu Oy, înlocuim $x = 0$ în funcție. Pentru intersecția cu Ox, impunem $f(x) = 0$ . Cele două puncte obținute se află pe axe, deci distanțele față de origine sunt chiar valorile absolute ale coordonatelor lor. Aria triunghiului dreptunghic se calculează cu formula clasică: cateta pe cateta, împărțit la 2.

Idei cheie de reținut

Intersecția cu Oy se găsește întotdeauna calculând $f(0)$ — rezultatul este ordonata la origine.
Intersecția cu Ox se găsește rezolvând ecuația $f(x) = 0$ — rezultatul este rădăcina funcției.
Triunghiul format este dreptunghic în origine, deci aria lui este $\dfrac{|x_B| \cdot |y_A|}{2}$ , unde $B$ e pe Ox și $A$ pe Oy.

Întrebări frecvente

Ce fac dacă funcția nu intersectează una dintre axe?

O funcție de gradul I cu $a \neq 0$ intersectează întotdeauna ambele axe, deci nu ai de ce să-ți faci griji în cazul acestor exerciții. Dacă $f(x) = c$ (funcție constantă), graficul este paralel cu Ox și nu o intersectează niciodată — dar atunci nici nu se formează un triunghi, iar problema nu apare.

De ce triunghiul are mereu unghiul drept în origine?

Axele Ox și Oy sunt perpendiculare între ele — asta e chiar definiția sistemului de coordonate. Drept urmare, cele două catete ale triunghiului format sunt exact segmentele de pe axe, iar unghiul dintre ele este de $90°$ . De aceea poți folosi direct formula ariei pentru triunghi dreptunghic.

Care este cea mai frecventă greșeală la acest tip de exercițiu?

Cea mai comună greșeală este să confunzi cele două intersecții: unii elevi rezolvă $f(x) = 0$ și scriu rezultatul ca punct pe Oy, sau înlocuiesc $x = 0$ și scriu punctul pe Ox. Ține minte simplu: $x = 0$ îți dă punctul de pe Oy, iar $f(x) = 0$ îți dă punctul de pe Ox.

Matematică clasa a VIII-a

15. Funcții, exerciții. Triunghiul format de axele de coordonate și graficul funcției.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente