27. Ecuația de gradul al doilea. Rezolvarea cu Delta. Descompunerea în factori cu ajutorul rădăcinilor.

Dacă ai ajuns la ecuația de gradul al doilea și simți că e un munte de urcat, vestea bună e că există o formulă care face tot greul pentru tine — delta. Lecția aceasta îți arată pas cu pas cum să calculezi discriminantul $\Delta = b^2 – 4ac$, cum să găsești rădăcinile $x_1$ și $x_2$ și, mai departe, cum să folosești acele rădăcini pentru a descompune trinomul în factori. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea cu delta nu e magie — e un algoritm clar pe care, odată ce l-ai înțeles, îl aplici fără să te pierzi. Vei vedea că semnul lui $\Delta$ îți spune dintr-o privire câte soluții are ecuația, iar descompunerea în factori cu ajutorul rădăcinilor devine o unealtă extrem de utilă la simplificări și la exercițiile mai avansate.

Ce vei învăța în această lecție

• Vei înțelege ce este discriminantul $\Delta$ și ce îți spune semnul lui despre numărul de soluții ale ecuației.
• Vei ști să aplici formula rădăcinilor $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$ corect, pas cu pas.
• Vei înțelege cum se leagă rădăcinile $x_1, x_2$ de coeficienții ecuației prin relațiile lui Viète.
• Vei ști să descompui un trinom de gradul al doilea în factori de forma $a(x – x_1)(x – x_2)$.

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

• Dacă $\Delta < 0$, ecuația nu are soluții reale — nu forța calculul cu radical dintr-un număr negativ.
• La descompunerea în factori, coeficientul $a$ din fața lui $x^2$ nu dispare — se scoate obligatoriu în față: $a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Relațiile lui Viète, $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ și $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$, sunt cel mai rapid mod de a verifica dacă rădăcinile tale sunt corecte.

Întrebări frecvente