- 6 secțiuni
- 129 de lecții
- Pe viață
Extinde toate secțiunileRestrânge toate secțiunile
- CAPITOLUL 1INTERVALE DE NUMERE REALE16
- 1.11. Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor lor
- 1.22. Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor lor. Partea 2. Exerciții.
- 1.33. Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor lor. Partea 3. Exerciții.
- 1.44. Intervale numerice și reprezentarea lor pe axa numerelor.
- 1.55. Intervale numerice și reprezentarea lor pe axa numerelor. Partea 2.
- 1.66. Intervale de numere reale. Inecuații cu modul. Partea 3.
- 1.77. Intervale de numere reale. Inecuații cu modul. Partea 4.
- 1.88. Operații cu intervale.
- 1.99. Operații cu intervale. Partea 2.
- 1.1010. Operații cu intervale. Partea 3.
- 1.1111. Operații cu intervale. Partea 4.
- 1.1212. Operații cu intervale. Partea 5. Recapitulare.
- 1.1313. Inecuații de forma ax+b=0, a, b, numere reale.
- 1.1414. Inecuații de forma ax+b=0, a, b, numere reale. Partea 2.
- 1.1515. Inecuații de forma ax+b=0, a, b, numere reale. Partea 3.
- 1.1616. Inecuații de forma ax+b=0, a, b, numere reale. Partea 4. Exerciții nivel avansat.
- CAPITOLUL 2CALCUL ALGEBRIC ÎN R28
- 2.11. Operații cu numere reale reprezentate prin litere.
- 2.22. Calcul algebric. Adunarea și scăderea numerelor reale reprezentate prin litere.
- 2.33. Adunarea și scăderea numerelor reale reprezentate prin litere. Partea 2.
- 2.44. Înmulțirea și împărțirea numerelor reale reprezentate prin litere.
- 2.55. Înmulțirea parantezelor.
- 2.66. Numere reale reprezentate prin litere. Ordinea efectuării operațiilor.
- 2.77. Formule de calcul prescurtat.
- 2.88. Formule de calcul prescurtat. Partea 2. Exerciții.
- 2.99. Formule de calcul prescurtat. Partea 3. Exerciții.
- 2.1010. Formule de calcul prescurtat. Raționalizarea numitorilor. Partea 4.
- 2.1111. Descompunerea în factori. Metoda – factor comun.
- 2.1212. Descompunerea în factori folosind formulele de calcul prescurtat.
- 2.1313. Descompunerea în factori utilizând formula diferenței de pătrate.
- 2.1414. Descompunerea în factori prin gruparea termenilor.
- 2.1515. Descompunerea în factori prin gruparea termenilor – partea 2.
- 2.1616. Descompunerea în factori. Metode combinate.
- 2.1717. Exerciții speciale – utilizare formule de calcul.
- 2.1818. Minimul sau maximul unei expresii.
- 2.1919. Expresii algebrice – Exercițiu Evaluare Națională.
- 2.2020. Fracții algebrice. Determinarea domeniului de definiție (condiții de existență).
- 2.2121. Fracții algebrice. Amplificarea. Simplificarea.
- 2.2222. Fracții algebrice. Adunarea și scăderea.
- 2.2323. Fracții algebrice. Adunarea și scăderea. Partea 2.
- 2.2424. Fracții algebrice. Înmulțirea. Împărțirea. Ridicarea la putere.
- 2.2525. Fracții algebrice. Toate operațiile. Exerciții Evaluare Națională.
- 2.2626. Fracții algebrice. Toate operațiile. Exerciții Evaluare Națională. Partea 2.
- 2.2727. Ecuația de gradul al doilea. Rezolvarea cu Delta. Descompunerea în factori cu ajutorul rădăcinilor.
- 2.2828. Ecuația de gradul al doilea. Ecuații incomplete de gradul al doilea.
- CAPITOLUL 3ELEMENTE FUNDAMENTALE ALE GEOMETRIEI IN SPATIU.60
- 3.11. Punctul. Dreapta. Planul. Determinarea planului.
- 3.22. Piramida. Prezentare. Elemente. Învățăm să desenăm.
- 3.33. Piramida triunghiulară regulată.
- 3.44. Piramida patrulateră regulată.
- 3.55. Piramida hexagonală regulată.
- 3.66. Prisma. Prisma dreaptă. Prisma regulată.
- 3.77. Paralelipipedul dreptunghic. Cubul.
- 3.88. Cilindrul circular drept.
- 3.99. Conul circular drept.
- 3.1010. Paralelism. Drepte paralele. Unghiul a două drepte în spațiu.
- 3.1111. Unghiul a două drepte în spațiu. Partea 2. Exerciții.
- 3.1212. Unghiul a două drepte în spațiu. Partea 3. Exerciții.
- 3.1313. Pozițiile relative a două plane. Plane paralele.
- 3.1414. Plane paralele. Partea 2.
- 3.1515. Plane paralele. Partea 3.
- 3.1616. Plane paralele. Partea 4.
- 3.1717. Secțiuni paralele cu bazele. Trunchiul de piramidă. Trunchiul de con.
- 3.1818. Trunchiul de piramidă. Partea 2. Exerciții.
- 3.1919. Trunchiul de piramidă. Partea 3. Exerciții.
- 3.2020. Perpendicularitate. Dreaptă perpendiculară pe plan.
- 3.2121. Dreaptă perpendiculară pe plan. Partea 2. Exerciții.
- 3.2222. Dreaptă perpendiculară pe plan. Partea 3.
- 3.2323. Dreaptă perpendiculară pe plan. Partea 4.
- 3.2424. Dreaptă perpendiculară pe plan. Partea 5.
- 3.2525. Înălțimea piramidei. Înălțimea conului
- 3.2626. Înălțimea piramidei. Înălțimea conului. Partea 2
- 3.2727. Înălțimea piramidei. Înălțimea conului. Partea 3
- 3.2828. Înălțimea prismei. Înălțimea cilindrului
- 3.2929. Înălțimea prismei. Înălțimea cilindrului. Partea 2
- 3.3030. Înălțimea prismei. Înălțimea cilindrului. Partea 3
- 3.3131. Înălțimea trunchiului de piramidă. Înălțimea trunchiului de con
- 3.3232. Înălțimea trunchiului de piramidă. Înălțimea trunchiului de con. Partea 2
- 3.3333. Înălțimea trunchiului de piramidă. Înălțimea trunchiului de con. Partea 3
- 3.3434. Secțiuni diagonale și axiale
- 3.3535. Secțiuni diagonale și axiale. Partea 2
- 3.3636. Secțiuni diagonale și axiale. Partea 3
- 3.3737. Secțiuni diagonale și axiale. Partea 4
- 3.3838. Plane perpendiculare
- 3.3939. Plane perpendiculare. Partea 2
- 3.4040. Plane perpendiculare. Partea 3
- 3.4141. Plane perpendiculare. Partea 4
- 3.4242. Proiecții pe un plan
- 3.4343. Proiecții pe un plan. Partea 2
- 3.4444. Proiecții pe un plan. Partea 3
- 3.4545. Proiecții pe un plan. Partea 4
- 3.4646. Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Lungimea proiecției unui segment pe un plan
- 3.4747. Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Partea 2
- 3.4848. Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Partea 3
- 3.4949. Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Partea 4
- 3.5050. Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Partea 5
- 3.5151. Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Partea 6
- 3.5252. Unghi diedru. Unghi plan corespunzător unghiului diedru. Unghiul a două plane
- 3.5353. Unghi diedru. Unghi plan corespunzător unghiului diedru. Unghiul a două plane. Partea 2
- 3.5454. Unghi diedru. Unghi plan corespunzător unghiului diedru. Unghiul a două plane. Partea 3
- 3.5555. Unghi diedru. Unghi plan corespunzător unghiului diedru. Unghiul a două plane. Partea 4
- 3.5656. Teorema celor trei perpendiculare.
- 3.5757. Teorema celor trei perpendiculare. Partea 2.
- 3.5858. Teorema celor trei perpendiculare. Partea 3.
- 3.5959. Teorema celor trei perpendiculare. Partea 4.
- 3.6060. Teorema celor trei perpendiculare. Partea 5.
- CAPITOLUL 4FUNCȚII16
- 4.11. Funcții. Funcții definite pe mulțimi finite. Moduri de a defini o funcție. Funcții numerice.
- 4.22. Funcții. Domeniu de definiție, codomeniu, legea de corespondență. Partea 2.
- 4.33. Funcții cu ramuri. Funcții egale. Partea 3.
- 4.44. Graficul unei funcții. Reprezentarea geometrică a graficului unei funcții.
- 4.55. Graficul unei funcții. Reprezentarea geometrică a graficului. Partea 2.
- 4.66. Funcția liniară f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b. Reprezentarea grafică a funcției, a și b ∈ ℝ.
- 4.77. Reprezentarea grafică a funcției liniare f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b. Intersecțiile graficului cu axele de coordonate. Partea 2.
- 4.88. Reprezentarea grafică a funcției liniare f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b. Intersecțiile graficului cu axele. Partea 3.
- 4.99. Reprezentarea grafică a funcției f: D → ℝ, unde D este un interval din ℝ.
- 4.1010. Exerciții care folosesc noțiunea de punct de pe grafic.
- 4.1111. Exerciții care folosesc noțiunea de punct de pe grafic. Partea 2.
- 4.1212. Exerciții care folosesc noțiunea de punct de pe grafic. Partea 3.
- 4.1313. Intersecția reprezentărilor grafice ale funcțiilor.
- 4.1414. Intersecția reprezentărilor grafice ale funcțiilor. Partea 2.
- 4.1515. Funcții, exerciții. Triunghiul format de axele de coordonate și graficul funcției.
- 4.1616. Funcții, exerciții. Triunghiul format de axele de coordonate și graficul funcției. Partea 2. Exercițiu Evaluare Națională.
- CAPITOLUL 5ARII ȘI VOLUME ALE UNOR CORPURI GEOMETRICE8
- 5.11. Distanțe și măsuri de unghiuri pe fețele sau în interiorul corpurilor geometrice studiate.
- 5.22. Arii și volum Prisma Regulată, Paralelipiped dreptunghic, Cub.
- 5.33. Arii și volum piramida regulată.
- 5.44. Arii și volum trunchi de piramidă regulată.
- 5.55. Arii, volum cilindru circular drept.
- 5.66. Arii și volum con circular drept.
- 5.77. Arii și volum trunchi de con circular drept.
- 5.88. Sfera.
- CAPITOLUL 6RECAPITULĂRI FINALE PRIN TESTE1
38. Plane perpendiculare
Știi momentul când deschizi un dulap și ușa lovește podeaua exact în unghi drept? Sau când privești colțul unei camere și observi că peretele „taie” podeaua perfect? Exact acolo intră în scenă planele perpendiculare. În această lecție video vei descoperi ce înseamnă cu adevărat că două plane sunt perpendiculare, cum recunoști această relație în figuri geometrice și cum o demonstrezi pas cu pas. Subiectul apare frecvent la teorie și la probleme de geometrie în spațiu, iar mulți elevi îl tratează superficial — și apoi pierd puncte inutile la teze. Lecția îți arată exact unde e capcanele și cum le eviți.
Ce vei învăța în această lecție
- Vei înțelege definiția planelor perpendiculare și ce condiție geometrică trebuie îndeplinită.
- Vei ști să identifici plane perpendiculare în corpuri geometrice uzuale (cub, paralelipiped, prismă).
- Vei înțelege legătura dintre o dreaptă perpendiculară pe un plan și perpendicularitatea a două plane.
- Vei ști să aplici criteriul de perpendicularitate a două plane în exerciții și probleme.
Exemplu rezolvat
Enunț
Fie un cub cu muchia . Demonstrează că planul este perpendicular pe planul .
Rezolvare
Fiecare pas separat:
Explicație
Criteriul fundamental spune: dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan și aparține unui al doilea plan, atunci cele două plane sunt perpendiculare. Aici, joacă rolul „cheie” — e perpendiculară pe baza cubului (pentru că toate muchiile laterale sunt perpendiculare pe bază) și se află în planul feței laterale. Asta e tot ce ai nevoie.
Idei cheie de reținut
- Două plane sunt perpendiculare dacă unghiul diedru dintre ele este de — adică se „întâlnesc” ca podeaua cu peretele.
- Criteriul practic: găsești o dreaptă perpendiculară pe primul plan care să aparțină celui de-al doilea plan, și demonstrația e gata.
- În corpurile geometrice regulate (cub, paralelipiped drept), planele fețelor laterale sunt întotdeauna perpendiculare pe planul bazei.
Întrebări frecvente
Care este cea mai frecventă greșeală la plane perpendiculare?
Mulți elevi confundă perpendicularitatea planelor cu perpendicularitatea dreptelor din acele plane. Nu orice dreaptă din primul plan este perpendiculară pe orice dreaptă din al doilea! Condiția se referă la unghiul diedru dintre plane, nu la orice pereche de drepte. Verifică întotdeauna că aplici criteriul corect, cu o dreaptă perpendiculară pe întregul plan.
Cum deosebesc planele perpendiculare de planele paralele?
Simplu: planele paralele nu se intersectează niciodată, menținând aceeași distanță între ele (ca tavanul și podeaua). Planele perpendiculare se intersectează după o dreaptă și formează un unghi de — ca un perete față de podea. Dacă planele se intersectează și unghiul dintre ele nu e drept, nu sunt nici paralele, nici perpendiculare.
De ce apare acest subiect atât de des la teză?
Perpendicularitatea planelor este fundament pentru calculul înălțimilor în piramide, prisme și alte corpuri geometrice. Fără să știi că anumite plane sunt perpendiculare, nu poți identifica corect triunghiurile dreptunghice ascunse în figuri 3D și pierzi tot lanțul de calcul. E un concept-pivot în geometria spațială de gimnaziu.