- 6 secțiuni
- 129 de lecții
- Pe viață
Extinde toate secțiunileRestrânge toate secțiunile
- CAPITOLUL 1INTERVALE DE NUMERE REALE16
- 1.11. Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor lor
- 1.22. Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor lor. Partea 2. Exerciții.
- 1.33. Mulțimi definite printr-o proprietate comună a elementelor lor. Partea 3. Exerciții.
- 1.44. Intervale numerice și reprezentarea lor pe axa numerelor.
- 1.55. Intervale numerice și reprezentarea lor pe axa numerelor. Partea 2.
- 1.66. Intervale de numere reale. Inecuații cu modul. Partea 3.
- 1.77. Intervale de numere reale. Inecuații cu modul. Partea 4.
- 1.88. Operații cu intervale.
- 1.99. Operații cu intervale. Partea 2.
- 1.1010. Operații cu intervale. Partea 3.
- 1.1111. Operații cu intervale. Partea 4.
- 1.1212. Operații cu intervale. Partea 5. Recapitulare.
- 1.1313. Inecuații de forma ax+b=0, a, b, numere reale.
- 1.1414. Inecuații de forma ax+b=0, a, b, numere reale. Partea 2.
- 1.1515. Inecuații de forma ax+b=0, a, b, numere reale. Partea 3.
- 1.1616. Inecuații de forma ax+b=0, a, b, numere reale. Partea 4. Exerciții nivel avansat.
- CAPITOLUL 2CALCUL ALGEBRIC ÎN R28
- 2.11. Operații cu numere reale reprezentate prin litere.
- 2.22. Calcul algebric. Adunarea și scăderea numerelor reale reprezentate prin litere.
- 2.33. Adunarea și scăderea numerelor reale reprezentate prin litere. Partea 2.
- 2.44. Înmulțirea și împărțirea numerelor reale reprezentate prin litere.
- 2.55. Înmulțirea parantezelor.
- 2.66. Numere reale reprezentate prin litere. Ordinea efectuării operațiilor.
- 2.77. Formule de calcul prescurtat.
- 2.88. Formule de calcul prescurtat. Partea 2. Exerciții.
- 2.99. Formule de calcul prescurtat. Partea 3. Exerciții.
- 2.1010. Formule de calcul prescurtat. Raționalizarea numitorilor. Partea 4.
- 2.1111. Descompunerea în factori. Metoda – factor comun.
- 2.1212. Descompunerea în factori folosind formulele de calcul prescurtat.
- 2.1313. Descompunerea în factori utilizând formula diferenței de pătrate.
- 2.1414. Descompunerea în factori prin gruparea termenilor.
- 2.1515. Descompunerea în factori prin gruparea termenilor – partea 2.
- 2.1616. Descompunerea în factori. Metode combinate.
- 2.1717. Exerciții speciale – utilizare formule de calcul.
- 2.1818. Minimul sau maximul unei expresii.
- 2.1919. Expresii algebrice – Exercițiu Evaluare Națională.
- 2.2020. Fracții algebrice. Determinarea domeniului de definiție (condiții de existență).
- 2.2121. Fracții algebrice. Amplificarea. Simplificarea.
- 2.2222. Fracții algebrice. Adunarea și scăderea.
- 2.2323. Fracții algebrice. Adunarea și scăderea. Partea 2.
- 2.2424. Fracții algebrice. Înmulțirea. Împărțirea. Ridicarea la putere.
- 2.2525. Fracții algebrice. Toate operațiile. Exerciții Evaluare Națională.
- 2.2626. Fracții algebrice. Toate operațiile. Exerciții Evaluare Națională. Partea 2.
- 2.2727. Ecuația de gradul al doilea. Rezolvarea cu Delta. Descompunerea în factori cu ajutorul rădăcinilor.
- 2.2828. Ecuația de gradul al doilea. Ecuații incomplete de gradul al doilea.
- CAPITOLUL 3ELEMENTE FUNDAMENTALE ALE GEOMETRIEI IN SPATIU.60
- 3.11. Punctul. Dreapta. Planul. Determinarea planului.
- 3.22. Piramida. Prezentare. Elemente. Învățăm să desenăm.
- 3.33. Piramida triunghiulară regulată.
- 3.44. Piramida patrulateră regulată.
- 3.55. Piramida hexagonală regulată.
- 3.66. Prisma. Prisma dreaptă. Prisma regulată.
- 3.77. Paralelipipedul dreptunghic. Cubul.
- 3.88. Cilindrul circular drept.
- 3.99. Conul circular drept.
- 3.1010. Paralelism. Drepte paralele. Unghiul a două drepte în spațiu.
- 3.1111. Unghiul a două drepte în spațiu. Partea 2. Exerciții.
- 3.1212. Unghiul a două drepte în spațiu. Partea 3. Exerciții.
- 3.1313. Pozițiile relative a două plane. Plane paralele.
- 3.1414. Plane paralele. Partea 2.
- 3.1515. Plane paralele. Partea 3.
- 3.1616. Plane paralele. Partea 4.
- 3.1717. Secțiuni paralele cu bazele. Trunchiul de piramidă. Trunchiul de con.
- 3.1818. Trunchiul de piramidă. Partea 2. Exerciții.
- 3.1919. Trunchiul de piramidă. Partea 3. Exerciții.
- 3.2020. Perpendicularitate. Dreaptă perpendiculară pe plan.
- 3.2121. Dreaptă perpendiculară pe plan. Partea 2. Exerciții.
- 3.2222. Dreaptă perpendiculară pe plan. Partea 3.
- 3.2323. Dreaptă perpendiculară pe plan. Partea 4.
- 3.2424. Dreaptă perpendiculară pe plan. Partea 5.
- 3.2525. Înălțimea piramidei. Înălțimea conului
- 3.2626. Înălțimea piramidei. Înălțimea conului. Partea 2
- 3.2727. Înălțimea piramidei. Înălțimea conului. Partea 3
- 3.2828. Înălțimea prismei. Înălțimea cilindrului
- 3.2929. Înălțimea prismei. Înălțimea cilindrului. Partea 2
- 3.3030. Înălțimea prismei. Înălțimea cilindrului. Partea 3
- 3.3131. Înălțimea trunchiului de piramidă. Înălțimea trunchiului de con
- 3.3232. Înălțimea trunchiului de piramidă. Înălțimea trunchiului de con. Partea 2
- 3.3333. Înălțimea trunchiului de piramidă. Înălțimea trunchiului de con. Partea 3
- 3.3434. Secțiuni diagonale și axiale
- 3.3535. Secțiuni diagonale și axiale. Partea 2
- 3.3636. Secțiuni diagonale și axiale. Partea 3
- 3.3737. Secțiuni diagonale și axiale. Partea 4
- 3.3838. Plane perpendiculare
- 3.3939. Plane perpendiculare. Partea 2
- 3.4040. Plane perpendiculare. Partea 3
- 3.4141. Plane perpendiculare. Partea 4
- 3.4242. Proiecții pe un plan
- 3.4343. Proiecții pe un plan. Partea 2
- 3.4444. Proiecții pe un plan. Partea 3
- 3.4545. Proiecții pe un plan. Partea 4
- 3.4646. Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Lungimea proiecției unui segment pe un plan
- 3.4747. Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Partea 2
- 3.4848. Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Partea 3
- 3.4949. Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Partea 4
- 3.5050. Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Partea 5
- 3.5151. Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Partea 6
- 3.5252. Unghi diedru. Unghi plan corespunzător unghiului diedru. Unghiul a două plane
- 3.5353. Unghi diedru. Unghi plan corespunzător unghiului diedru. Unghiul a două plane. Partea 2
- 3.5454. Unghi diedru. Unghi plan corespunzător unghiului diedru. Unghiul a două plane. Partea 3
- 3.5555. Unghi diedru. Unghi plan corespunzător unghiului diedru. Unghiul a două plane. Partea 4
- 3.5656. Teorema celor trei perpendiculare.
- 3.5757. Teorema celor trei perpendiculare. Partea 2.
- 3.5858. Teorema celor trei perpendiculare. Partea 3.
- 3.5959. Teorema celor trei perpendiculare. Partea 4.
- 3.6060. Teorema celor trei perpendiculare. Partea 5.
- CAPITOLUL 4FUNCȚII16
- 4.11. Funcții. Funcții definite pe mulțimi finite. Moduri de a defini o funcție. Funcții numerice.
- 4.22. Funcții. Domeniu de definiție, codomeniu, legea de corespondență. Partea 2.
- 4.33. Funcții cu ramuri. Funcții egale. Partea 3.
- 4.44. Graficul unei funcții. Reprezentarea geometrică a graficului unei funcții.
- 4.55. Graficul unei funcții. Reprezentarea geometrică a graficului. Partea 2.
- 4.66. Funcția liniară f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b. Reprezentarea grafică a funcției, a și b ∈ ℝ.
- 4.77. Reprezentarea grafică a funcției liniare f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b. Intersecțiile graficului cu axele de coordonate. Partea 2.
- 4.88. Reprezentarea grafică a funcției liniare f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b. Intersecțiile graficului cu axele. Partea 3.
- 4.99. Reprezentarea grafică a funcției f: D → ℝ, unde D este un interval din ℝ.
- 4.1010. Exerciții care folosesc noțiunea de punct de pe grafic.
- 4.1111. Exerciții care folosesc noțiunea de punct de pe grafic. Partea 2.
- 4.1212. Exerciții care folosesc noțiunea de punct de pe grafic. Partea 3.
- 4.1313. Intersecția reprezentărilor grafice ale funcțiilor.
- 4.1414. Intersecția reprezentărilor grafice ale funcțiilor. Partea 2.
- 4.1515. Funcții, exerciții. Triunghiul format de axele de coordonate și graficul funcției.
- 4.1616. Funcții, exerciții. Triunghiul format de axele de coordonate și graficul funcției. Partea 2. Exercițiu Evaluare Națională.
- CAPITOLUL 5ARII ȘI VOLUME ALE UNOR CORPURI GEOMETRICE8
- 5.11. Distanțe și măsuri de unghiuri pe fețele sau în interiorul corpurilor geometrice studiate.
- 5.22. Arii și volum Prisma Regulată, Paralelipiped dreptunghic, Cub.
- 5.33. Arii și volum piramida regulată.
- 5.44. Arii și volum trunchi de piramidă regulată.
- 5.55. Arii, volum cilindru circular drept.
- 5.66. Arii și volum con circular drept.
- 5.77. Arii și volum trunchi de con circular drept.
- 5.88. Sfera.
- CAPITOLUL 6RECAPITULĂRI FINALE PRIN TESTE1
52. Unghi diedru. Unghi plan corespunzător unghiului diedru. Unghiul a două plane
Știi cum o carte deschisă formează două pagini care fac un unghi între ele? Exact acesta este principiul din spatele unghiului diedru — un concept de geometrie în spațiu care îți explică cum măsori deschiderea dintre două semplane cu aceeași muchie. Lecția aceasta te ajută să înțelegi ce este unghiul diedru, cum construiești unghiul plan corespunzător și cum determini unghiul a două plane — noțiuni esențiale atunci când rezolvi probleme cu poliedre, piramide sau prisme. Dacă ai simțit vreodată că geometria în spațiu e prea abstractă, aici primești instrumentele concrete ca să o „vezi” și să o calculezi.
Ce vei învăța în această lecție
- Vei înțelege ce este un unghi diedru și care sunt elementele lui: semplane și muchie.
- Vei ști să construiești unghiul plan corespunzător unui unghi diedru, ducând perpendiculare pe muchie în același punct.
- Vei înțelege cum se definește și se măsoară unghiul a două plane secante.
- Vei ști să aplici aceste noțiuni în probleme concrete cu corpuri geometrice din clasa a 7-a și a 8-a.
Exemplu rezolvat
Enunț
Într-un cub cu muchia cm, considerăm două fețe adiacente. Determină măsura unghiului diedru de-a lungul muchiei comune a celor două fețe.
Rezolvare
Fiecare pas pe rând:
Explicație
Cheia este construcția: din același punct de pe muchie, duci câte o perpendiculară pe muchie în fiecare semplan. Unghiul format de aceste două perpendiculare este tocmai unghiul plan corespunzător. La cub, fețele sunt perpendiculare prin definiție, deci unghiul diedru dintre orice două fețe adiacente este mereu , indiferent de lungimea muchiei.
Idei cheie de reținut
- Unghiul plan corespunzător se construiește ducând perpendiculare pe muchia diedrului din același punct, câte una în fiecare semplan.
- Măsura unghiului diedru este egală cu măsura unghiului plan corespunzător — deci un calcul 2D rezolvă o problemă 3D.
- Unghiul a două plane este unghiul diedru format de cele două plane de-a lungul dreptei lor comune de intersecție; valoarea lui nu depinde de punctul ales pe muchie.
Întrebări frecvente
Cum știu din ce punct de pe muchie să duc perpendiculara?
Poți alege orice punct de pe muchie — rezultatul este același. Unghiul plan corespunzător are aceeași măsură indiferent unde plasezi punctul , pentru că cele două semplane sunt fixe. Alege punctul cel mai convenabil pentru calcul, de obicei un vârf sau mijlocul unei laturi, acolo unde ai deja informații din figură.
Care este cea mai frecventă greșeală la unghi diedru?
Greșeala clasică este să măsori unghiul între două drepte oarecare din cele două plane, în loc să construiești corect perpendiculara pe muchie. Dacă dreapta aleasă nu este perpendiculară pe muchia diedrului, unghiul obținut nu este unghiul plan corespunzător și toată rezolvarea devine greșită. Verifică întotdeauna condiția de perpendicularitate pe muchie.
De ce contează unghiul diedru la probleme cu piramide sau prisme?
La piramide și prisme apar mereu întrebări despre unghiul dintre o față laterală și bază sau dintre două fețe laterale. Toate acestea sunt, de fapt, unghiuri diedre. Fără să știi cum să le calculezi, nu poți rezolva corect acele probleme — și exact asta se cere frecvent la teze și la evaluare națională.