7. Arii și volum trunchi de con circular drept.

Trunchiul de con apare peste tot în jurul tău — de la găleți și pahare de plastic, până la lampele de birou sau coșurile de gunoi. Lecția aceasta te ajută să calculezi cu precizie ariile și volumul trunchiului de con circular drept, adică exact ce ai nevoie atunci când exercițiile de la clasă sau subiectele de examen îți cer formule pe care poate le-ai văzut, dar nu le-ai înțeles cu adevărat. Vei vedea de unde vin formulele, cum se leagă raza mică, raza mare și înălțimea între ele, și cum apare generatoarea în calcule. Totul pas cu pas, fără grabă, cu exemple clare care să-ți rămână în cap.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege ce este trunchiul de con circular drept și cum se obține din con prin tăiere cu un plan paralel la bază.
Vei ști să calculezi generatoarea trunchiului de con folosind teorema lui Pitagora.
Vei ști să aplici formulele pentru aria laterală, aria totală și volumul trunchiului de con.
Vei înțelege cum să alegi corect datele din enunț și să eviți cele mai frecvente greșeli de calcul.

Exemplu rezolvat

Enunț

Un trunchi de con circular drept are raza bazei mari $R = 6$ cm, raza bazei mici $r = 3$ cm și înălțimea $h = 4$ cm. Calculează aria laterală, aria totală și volumul trunchiului de con.

Rezolvare

Calculăm generatoarea, apoi ariile și volumul:

l = \sqrt{h^2 + (R – r)^2} = \sqrt{4^2 + (6-3)^2} =

\sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}

A_{\text{lat}} = \pi \cdot (R + r) \cdot l =

\pi \cdot (6 + 3) \cdot 5 = 45\pi \text{ cm}^2

A_{\text{baze}} = \pi R^2 + \pi r^2 = 36\pi + 9\pi = 45\pi \text{ cm}^2

A_{\text{tot}} = A_{\text{lat}} + A_{\text{baze}} =

45\pi + 45\pi = 90\pi \text{ cm}^2

V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2) = \frac{4\pi}{3}(36 + 18 + 9) =

\frac{4\pi}{3} \cdot 63 = 84\pi \text{ cm}^3

Explicație

Primul pas este mereu generatoarea $l$ — fără ea nu poți calcula aria laterală. Formula ei vine din Pitagora aplicat pe secțiunea axială. Aria laterală folosește suma razelor înmulțită cu $l$ , iar volumul are propria formulă cu toți trei termenii $R^2 + Rr + r^2$ — nu uita niciun termen, altfel rezultatul e greșit.

Idei cheie de reținut

Generatoarea se calculează cu Pitagora: $l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$ — este primul lucru pe care îl determini.
Aria laterală este $A_{\text{lat}} = \pi(R+r)l$ , iar aria totală adaugă cele două discuri de la baze: $\pi R^2 + \pi r^2$ .
Volumul trunchiului de con este $V = \dfrac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)$ — toți trei termenii din paranteză sunt obligatorii.

Întrebări frecvente

Care este cea mai frecventă greșeală la calculul volumului trunchiului de con?

Elevii uită termenul din mijloc, $Rr$ , și scriu doar $R^2 + r^2$ în loc de $R^2 + Rr + r^2$ . Această greșeală schimbă complet rezultatul. Memorează formula ca pe un întreg și verifică întotdeauna că ai exact trei termeni în paranteză înainte să continui calculul.

De ce calculez generatoarea înainte de arie? Nu pot să sar direct la formulă?

Nu poți, pentru că formula ariei laterale conține $l$ — generatoarea. Dacă nu o calculezi primul, nu ai cu ce continua. Gândește-te la generatoare ca la o cheie: fără ea, ușa ariei laterale rămâne închisă. Pitagora pe secțiunea axială îți dă mereu această valoare.

Cum știu dacă mi s-a dat generatoarea direct sau trebuie să o calculez eu?

Citește cu atenție enunțul: dacă apare cuvântul „generatoare” sau litera $l$ , ai deja valoarea și o folosești direct. Dacă ți se dau $R$ , $r$ și $h$ , atunci calculezi tu $l = \sqrt{h^2 + (R-r)^2}$ . Uneori enunțul îți dă și $h$ și $l$ — atunci nu mai calculezi nimic în plus.

Matematică clasa a VIII-a

7. Arii și volum trunchi de con circular drept.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente