CALCULE CU MĂSURI DE UNGHIURI: adunare, scădere, complement și supliment - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a V-a)

Când o semidreaptă împarte un unghi în două, suma măsurilor părților este egală cu măsura unghiului întreg, iar complementul și suplementul unui unghi se află scăzând din ${90}^{\circ }$, respectiv din ${180}^{\circ }$. Mai jos aplici aceste formule în 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Cum calculezi cu măsuri de unghiuri

Exerciții rezolvate : calculele cu măsuri de unghiuri

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Adunarea măsurilorușor

Semidreapta $[OD$ se află în interiorul unghiului $AOB$, cu $m(\angle AOD)=$ ${35}^{\circ }$ și $m(\angle DOB)=$ ${48}^{\circ }$. Calculează $m(\angle AOB)$.

Rezolvare pas cu pas

1. Semidreapta $[OD$ fiind în interiorul unghiului $AOB$, suma măsurilor celor două părți dă măsura întregului unghi.
2. $m(\angle AOB)=$ $m(\angle AOD)+m(\angle DOB)=$ ${35}^{\circ }+{48}^{\circ }=$ ${83}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\angle AOB)=$ ${83}^{\circ }$

EXERCIȚIUL 2Scăderea măsurilorușor

Unghiul $MNP$ este drept, iar semidreapta $[NQ$ se află în interiorul lui, cu $m(\angle MNQ)=$ ${58}^{\circ }$. Calculează $m(\angle QNP)$.

Rezolvare pas cu pas

1. $m(\angle MNP)=$ $m(\angle MNQ)+m(\angle QNP)$, deci ${90}^{\circ }=$ ${58}^{\circ }+m(\angle QNP)$.
2. $m(\angle QNP)=$ ${90}^{\circ }-{58}^{\circ }=$ ${32}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\angle QNP)=$ ${32}^{\circ }$

EXERCIȚIUL 3Complementul unui unghiușor

Calculează măsura complementului unui unghi de ${37}^{\circ }$.

Rezolvare pas cu pas

1. Complementul se află scăzând măsura unghiului din ${90}^{\circ }$.
2. ${90}^{\circ }-{37}^{\circ }=$ ${53}^{\circ }$.

Răspuns: ${53}^{\circ }$

EXERCIȚIUL 4Suplementul, cu figurămediu

Punctele $A$, $O$, $B$ sunt coliniare, iar semidreapta $[OC$ formează cu $[OA$ un unghi de ${118}^{\circ }$. Calculează $m(\angle COB)$ și precizează ce fel de unghi este.

Rezolvare pas cu pas

1. Cum $A$, $O$, $B$ sunt coliniare, $\angle AOB$ este alungit, deci $m(\angle AOB)=$ ${180}^{\circ }$.
2. $\angle AOC$ și $\angle COB$ sunt suplementare: $m(\angle AOC)+m(\angle COB)=$ ${180}^{\circ }$.
3. $m(\angle COB)=$ ${180}^{\circ }-{118}^{\circ }=$ ${62}^{\circ }$, care este mai mic decât ${90}^{\circ }$, deci unghiul este ascuțit.

Răspuns: $m(\angle COB)=$ ${62}^{\circ }$, unghi ascuțit

EXERCIȚIUL 5Dublul unei părțimediu

Semidreapta $[OT$ se află în interiorul unghiului drept $AOB$, iar $m(\angle AOT)$ este dublul lui $m(\angle TOB)$. Calculează măsurile celor două unghiuri.

Rezolvare pas cu pas

1. Notăm $m(\angle TOB)=x$, deci $m(\angle AOT)=2x$.
2. Suma celor două părți dă unghiul drept: $x+2x={90}^{\circ }$, adică $3x={90}^{\circ }$, deci $x={30}^{\circ }$.
3. Atunci $m(\angle TOB)=$ ${30}^{\circ }$ și $m(\angle AOT)=$ $2\cdot {30}^{\circ }=$ ${60}^{\circ }$.
4. Verificare: ${30}^{\circ }+{60}^{\circ }=$ ${90}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\angle AOT)=$ ${60}^{\circ }$, $m(\angle TOB)=$ ${30}^{\circ }$

EXERCIȚIUL 6De trei ori mai maremediu

Unghiul alungit $AOB$ este împărțit de semidreapta $[OC$ în unghiurile $AOC$ și $COB$. Măsura lui $\angle COB$ este de trei ori mai mare decât cea a lui $\angle AOC$. Calculează măsura fiecărui unghi.

Rezolvare pas cu pas

1. Notăm $m(\angle AOC)=x$, deci $m(\angle COB)=3x$.
2. Fiind unghi alungit, suma celor două părți este ${180}^{\circ }$: $x+3x={180}^{\circ }$, adică $4x={180}^{\circ }$, deci $x={45}^{\circ }$.
3. Atunci $m(\angle AOC)=$ ${45}^{\circ }$ și $m(\angle COB)=$ $3\cdot {45}^{\circ }=$ ${135}^{\circ }$.
4. Verificare: ${45}^{\circ }+{135}^{\circ }=$ ${180}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\angle AOC)=$ ${45}^{\circ }$, $m(\angle COB)=$ ${135}^{\circ }$

EXERCIȚIUL 7Trei unghiuri dintr-un unghi alungitgreu

Unghiul alungit $AOB$ este împărțit de semidreptele $[OM$ și $[ON$ (cu $[OM$ mai aproape de $[OA$) în trei unghiuri: $\angle AOM$, $\angle MON$ și $\angle NOB$. Se știe că $m(\angle MON)$ este dublul lui $m(\angle AOM)$, iar $m(\angle NOB)$ este triplul lui $m(\angle AOM)$. Calculează măsurile celor trei unghiuri.

Rezolvare pas cu pas

1. Notăm $m(\angle AOM)=x$. Atunci $m(\angle MON)=2x$ și $m(\angle NOB)=3x$.
2. Cele trei unghiuri împart unghiul alungit, deci suma lor este ${180}^{\circ }$: $x+2x+3x=$ ${180}^{\circ }$, adică $6x={180}^{\circ }$, deci $x={30}^{\circ }$.
3. $m(\angle AOM)=$ ${30}^{\circ }$, $m(\angle MON)=$ ${60}^{\circ }$, $m(\angle NOB)=$ ${90}^{\circ }$.
4. Verificare: ${30}^{\circ }+{60}^{\circ }+{90}^{\circ }=$ ${180}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\angle AOM)=$ ${30}^{\circ }$, $m(\angle MON)=$ ${60}^{\circ }$, $m(\angle NOB)=$ ${90}^{\circ }$

EXERCIȚIUL 8Provocare: cu cât e mai maregreu

Punctele $A$, $O$, $B$ sunt coliniare. Semidreapta $[OC$ împarte unghiul alungit $AOB$ în unghiurile $AOC$ și $COB$, astfel încât $m(\angle COB)$ este cu ${48}^{\circ }$ mai mare decât $m(\angle AOC)$. Calculează măsura fiecărui unghi și precizează tipul lor.

Rezolvare pas cu pas

1. Notăm $m(\angle AOC)=x$, deci $m(\angle COB)=$ $x+{48}^{\circ }$.
2. Suma celor două este unghiul alungit: $x+(x+{48}^{\circ })=$ ${180}^{\circ }$, adică $2x+{48}^{\circ }=$ ${180}^{\circ }$.
3. $2x={132}^{\circ }$, deci $x={66}^{\circ }$.
4. $m(\angle AOC)=$ ${66}^{\circ }$ (ascuțit) și $m(\angle COB)=$ ${66}^{\circ }+{48}^{\circ }=$ ${114}^{\circ }$ (obtuz).
5. Verificare: ${66}^{\circ }+{114}^{\circ }=$ ${180}^{\circ }$.

Răspuns: $m(\angle AOC)=$ ${66}^{\circ }$ (ascuțit), $m(\angle COB)=$ ${114}^{\circ }$ (obtuz)

Cum recunoști un exercițiu de calcul cu măsuri de unghiuri

• Ți se dau măsuri de unghiuri și ți se cere o sumă, o diferență sau o măsură necunoscută dintr-o parte a unui unghi mai mare.
• Apare cuvântul „complementul” sau „suplementul” unui unghi, iar tu aplici direct formula, fără să mai explici de ce este adevărată.
• Măsurile sunt date printr-o relație între ele („dublul”, „de trei ori mai mare”, „cu un număr de grade mai mare”), nu direct în cifre.

Greșeli frecvente la calculele cu măsuri de unghiuri

• Aduni fără să verifici ce ți se cere. Când o semidreaptă e în interiorul unui unghi, suma părților dă întregul; dar dacă întrebarea cere o parte, faci scădere, nu adunare.
• Confunzi complementul cu suplementul. Complementul unui unghi rezultă din ${90}^{\circ }$ minus unghiul dat, suplementul din ${180}^{\circ }$ minus unghiul dat. Verifică mereu din ce număr scazi.
• Uiți verificarea finală. După ce calculezi, adună din nou toate părțile și verifică dacă suma dă exact valoarea din enunț: ${90}^{\circ }$, ${180}^{\circ }$ sau unghiul total dat.

Exersează : calculele cu măsuri de unghiuri

Din același capitol

• Definiția unghiului, cu exemple din viața reală
• Clasificarea unghiurilor, cu exerciții rezolvate
• Unghiuri suplementare (teoria completă)
• Elemente de geometrie: punct, dreaptă, semidreaptă, segment
• Figuri congruente și axa de simetrie
• Lecția video: Măsura unui unghi. Clasificarea unghiurilor

Întrebări frecvente despre calculele cu măsuri de unghiuri