12. Factor comun – exerciții de consolidare și aprofundare

Dacă ai trecut deja prin teoria factorului comun și simți că e momentul să pui lucrurile la treabă cu adevărat, lecția asta e exact ce îți trebuie. Consolidăm și aprofundăm — adică luăm exerciții de factor comun din ce în ce mai interesante și le rezolvăm pas cu pas, fără să sărim peste nimic. Vei vedea cum să recunoști rapid ce poți scoate în față dintr-o sumă sau diferență, cum să nu te încurci când expresia arată complicat și cum să verifici singur dacă ai lucrat corect. Practic, după ce termini videoclipul, nu vei mai privi o expresie algebrică cu frică — o vei vedea ca pe un puzzle pe care deja știi cum să-l rezolvi. Tocmai asta îi lipsește multor elevi: nu teoria, ci exersatul cu exemple reale, variate, explicate pe înțelesul lor.

Ce vei învăța în această lecție

Vei ști să identifici factorul comun al mai multor termeni, chiar și când acesta nu este imediat evident.
Vei înțelege cum să scoți în față un factor comun și cum arată expresia înainte și după operație.
Vei ști să verifici rezultatul prin reînmulțire, astfel încât să fii sigur că nu ai greșit.
Vei exersa pe exerciții cu grade diferite de dificultate, pregătindu-te pentru orice subiect de teză sau olimpiadă.

Exemplu rezolvat

Enunț

Descompune în factori expresia $12a^2b – 8ab^2 + 4ab$ , scoțând în evidență factorul comun al tuturor termenilor.

Rezolvare

Fiecare pas separat:

12a^2b – 8ab^2 + 4ab

\text{Coeficienți: } \gcd(12, 8, 4) = 4

\text{Litere comune: } a^1 \cdot b^1 = ab

\text{Factor comun: } 4ab

4ab \cdot (3a) – 4ab \cdot (2b) + 4ab \cdot (1)

= 4ab(3a – 2b + 1)

Explicație

Mai întâi am găsit cel mai mare divizor comun al coeficienților numerici, apoi am identificat puterea minimă a fiecărei litere care apare în toți termenii. Factorul $4ab$ a fost „scos în față”, iar ce rămâne în paranteză se obține împărțind fiecare termen la el. Verificarea se face înmulțind înapoi — dacă obții expresia inițială, ai lucrat corect.

Idei cheie de reținut

Factorul comun este întotdeauna produsul dintre c.m.m.d.c. al coeficienților și puterea minimă a fiecărei litere comune.
Dacă un termen este identic cu factorul comun, în paranteză rămâne $1$ — nu zero și nu nimic.
Reînmulțirea este cel mai simplu mod de a verifica dacă descompunerea este corectă înainte de a preda lucrarea.

Întrebări frecvente

Ce fac dacă termenul din paranteză îmi iese negativ — am greșit ceva?

Nu neapărat! Uneori este util să scoți în față un factor negativ intenționat, pentru a obține o paranteză cu semne mai curate. De exemplu, din $-6x + 4$ poți scoate $-2$ și obții $-2(3x – 2)$ . Ambele forme sunt corecte — important e că înmulțind înapoi ajungi la expresia originală.

Cum știu că am ales cel mai mare factor comun și nu unul mai mic?

Dacă în paranteză termenii mai au încă un divizor comun, înseamnă că nu ai scos tot. Verifică: uită-te la ce a rămas în paranteză și întreabă-te dacă mai există ceva care împarte toți termenii. Dacă da, mai scoate o dată. Exercițiul e complet abia când termenii din paranteză nu mai au nimic în comun.

Care e cea mai frecventă greșeală la exercițiile cu factor comun?

Uitarea lui $1$ în paranteză atunci când un termen este exact factorul comun. De exemplu, din $6x^2 + 6x$ se scoate $6x$ și rezultă $6x(x + 1)$ — nu $6x \cdot x$ . Acel $1$ dispare din vedere în grabă, dar fără el expresia nu mai este echivalentă cu cea inițială. Verifică mereu prin înmulțire!

Matematică clasa a V-a

12. Factor comun – exerciții de consolidare și aprofundare

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente