16. Unghi la centru. Măsuri.

Știai că poți măsura un unghi folosind doar un arc de cerc? Exact asta faci când lucrezi cu unghiul la centru — unul dintre cele mai elegante concepte din geometria cercului. Lecția aceasta îți arată cum se formează un unghi la centru, cum se calculează măsura lui și cum legătura dintre unghi și arc îți simplifică enorm rezolvările. Vei vedea că, odată ce înțelegi regula de bază, poți determina rapid arce, unghiuri și raporturi fără să te pierzi în calcule complicate. Util la teze, la olimpiade și oriunde apare cercul într-o problemă.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege ce este un unghi la centru și cum se construiește față de un cerc dat.
Vei ști să aplici relația dintre măsura unghiului la centru și măsura arcului corespunzător.
Vei ști să calculezi măsura unui arc sau a unui unghi la centru pornind de la date parțiale.
Vei înțelege cum se împarte cercul în arce când sunt date mai multe unghiuri la centru.

Exemplu rezolvat

Enunț

Într-un cerc cu centrul $O$ , sunt trasate două raze $OA$ și $OB$ astfel încât arcul $AB$ (arcul mic) are măsura de $110°$ . Află măsura unghiului la centru $\angle AOB$ și măsura arcului mare $\overset{\frown}{AB}$ .

Rezolvare

Aplicăm relația dintre unghi și arc, apoi proprietatea că suma arcelor unui cerc este 360°.

m(\angle AOB) = m\overset{\frown}{AB}_{\text{mic}} = 110°

m\overset{\frown}{AB}_{\text{mare}} = 360° – 110°

m\overset{\frown}{AB}_{\text{mare}} = 250°

Explicație

Regula de aur: un unghi la centru are exact aceeași măsură în grade ca arcul pe care îl interceptează. Deci $\angle AOB = 110°$ direct. Fiindcă un cerc întreg are $360°$ , arcul rămas — cel mare — se obține scăzând arcul mic din $360°$ . Simplu și rapid, fără nicio formulă complicată de memorat.

Idei cheie de reținut

Măsura unui unghi la centru este întotdeauna egală cu măsura arcului pe care îl corespunde — $m(\angle) = m(\overset{\frown}{})$ .
Suma tuturor arcelor determinate de raze într-un cerc este mereu $360°$ , deci poți afla un arc necunoscut prin scădere.
Dacă un cerc este împărțit în arce de mai multe raze, suma unghiurilor la centru formate este tot $360°$ — verifică mereu cu această sumă.

Întrebări frecvente

Care este cea mai frecventă greșeală la unghiul la centru?

Mulți elevi confundă unghiul la centru cu unghiul înscris și aplică greșit formula. Reține: unghiul la centru are vârful chiar în centrul cercului $O$ , iar laturile sunt raze. Dacă vârful e pe cerc, e unghi înscris și formula se schimbă. Verifică mereu unde se află vârful unghiului înainte de orice calcul.

Ce fac dacă sunt mai multe unghiuri la centru în aceeași problemă?

Scrii că suma lor este $360°$ și rezolvi o ecuație. De exemplu, dacă ai trei unghiuri la centru de măsuri $x$ , $2x$ și $3x$ , ecuația este $x + 2x + 3x = 360°$ , deci $6x = 360°$ , adică $x = 60°$ . Această strategie funcționează pentru oricâte unghiuri la centru, indiferent de problemă.

La ce folosește unghiul la centru în afara lecției de geometrie?

Apare des în probleme cu sectoare de cerc, la calculul lungimii unui arc sau al ariei unui sector — subiecte frecvente la teze și evaluare națională. Dacă înțelegi acum că $m(\angle) = m(\overset{\frown}{})$ , toate acele calcule devin mult mai ușoare, pentru că pornești mereu de la această relație simplă.

Matematică clasa a VI-a

16. Unghi la centru. Măsuri.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente