de Echipa Școala Virtuală11 septembrie 2026

Unghi la centru: formulă + 5 exerciții rezolvate

Uită-te la cadranul unui ceas. Atunci când minutarul se mișcă de la 12 la 3, el trasează ceva — un unghi, pornind exact din centrul cercului. Asta e, practic, un unghi la centru. Și mulți elevi îl văd prima dată și îl confundă cu orice altceva: cu un unghi înscris, cu un arc, cu ceva complicat. Nu e. E cel mai simplu unghi dintr-un cerc — tocmai pentru că pleacă din mijloc. Odată ce înțelegi asta, tot restul cade la loc: formula, legătura cu arcul, exercițiile. Hai să vedem cum funcționează de fapt, pas cu pas, fără să sari peste nimic important.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este un unghi la centru și cum îl recunoști imediat într-o figură
Vei ști formula care leagă unghiul la centru de arcul de cerc corespunzător
Vei ști să calculezi măsura unui unghi la centru sau a unui arc, din orice tip de enunț
Vei evita cele mai frecvente greșeli pe care le fac elevii când lucrează cu cercul

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Ce este, de fapt, un unghi la centru

Să zicem că ai un cerc. În mijlocul lui e centrul — îl numim, de obicei, O. Acum trasezi două raze: una spre un punct A de pe cerc, alta spre un punct B de pe cerc. Unghiul format între aceste două raze, cu vârful chiar în O, se numește unghi la centru. Simplu. Vârful e în centru — de-aia îl numim așa. Și unghiul ăsta „taie" din cerc un arc de cerc, arcul AB. De fapt, asta e cheia întregii povești: unghiul la centru și arcul lui corespunzător au exact aceeași măsură în grade. Dacă unghiul e de 60°, arcul e de 60°. Nu trebuie să memorezi nimic complicat — e o relație directă, unu la unu.

💡 Regula de bază

Un unghi la centru are vârful în centrul cercului și laturile pe două raze. Măsura unghiului la centru este egală cu măsura arcului pe care îl interceptează: $∠ A O B = {A B}^{⌢}$ . Cercul complet are 360°, deci suma tuturor unghiurilor la centru care împart cercul e tot 360°.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

În cercul de centru O, punctele A și B sunt pe cerc astfel încât $∠ A O B = 80 °$ . Află măsura arcului mic AB și măsura arcului mare AB.

🔢 Rezolvare

{A B}^{⌢}_{mic} = ∠ A O B = 80 °

{A B}^{⌢}_{mare} = 360 ° - 80 ° = 280 °

✅ Explicație

Primul pas e direct — arcul mic are exact aceeași măsură ca unghiul la centru, adică 80°. Cercul întreg are 360°, deci arcul mare e ce rămâne după ce scazi arcul mic. Nu e nicio formulă complicată — e doar logica unui întreg împărțit în două părți.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Confunzi unghiul la centru cu unghiul înscris. Elevii le desenează similar și cred că au aceeași formulă. Unghiul înscris are vârful pe cerc, nu în centru — și asta face toată diferența.

✅ Corect: Verifică întotdeauna unde e vârful. Vârf în centrul O → unghi la centru, măsura egală cu arcul. Vârf pe cerc → unghi înscris, măsura egală cu jumătate din arc. Sunt două lucruri complet diferite.

❌ Greșeala #2: Când se cere arcul mare, mulți elevi uită că există două arce între A și B și dau doar arcul mic ca răspuns final.

✅ Corect: Două puncte pe cerc determină mereu două arce — unul mic și unul mare. Dacă enunțul nu precizează care, verifică contextul sau calculează ambele. Arcul mare = $360 ° - arcul mic$ .

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. În cercul de centru O, $∠ A O B = 120 °$ . Cât măsoară arcul mic AB?

Vezi rezolvarea pas cu pas

{A B}^{⌢}_{mic} = ∠ A O B

{A B}^{⌢}_{mic} = 120 °

Unghiul la centru și arcul corespunzător au aceeași măsură — citești direct din enunț și ai răspunsul. Nimic mai mult de făcut.

Răspuns: Arcul mic AB măsoară 120°.

Exercițiul 2. Arcul mic AB al unui cerc de centru O măsoară 150°. Cât măsoară $∠ A O B$ și arcul mare AB?

Vezi rezolvarea pas cu pas

∠ A O B = {A B}^{⌢}_{mic} = 150 °

{A B}^{⌢}_{mare} = 360 ° - 150 ° = 210 °

Relația merge în ambele sensuri: știi arcul, știi și unghiul. Arcul mare e diferența față de 360° — cercul complet.

Răspuns: $∠ A O B = 150 °$ ; arcul mare AB = 210°.

Exercițiul 3. Punctele A, B, C sunt pe un cerc de centru O și împart cercul în trei arce. Arcul AB = 100°, arcul BC = 130°. Cât măsoară $∠ A O C$ corespunzător arcului AC?

Vezi rezolvarea pas cu pas

{A B}^{⌢} + {B C}^{⌢} + {A C}^{⌢} = 360 °

100 ° + 130 ° + {A C}^{⌢} = 360 °

{A C}^{⌢} = 360 ° - 100 ° - 130 ° = 130 °

∠ A O C = {A C}^{⌢} = 130 °

Cele trei arce acoperă cercul întreg, deci suma lor e 360°. Scazi ce știi și găsești arcul rămas — care e egal cu unghiul la centru căutat.

Răspuns: $∠ A O C = 130 °$ .

Exercițiul 4. În cercul de centru O, $∠ A O B = 90 °$ și $∠ B O C = 3 \cdot ∠ A O B$ . Cât măsoară arcul AC care nu conține punctul B?

Vezi rezolvarea pas cu pas

∠ A O B = 90 °

∠ B O C = 3 \cdot 90 ° = 270 °

{A C}^{⌢}_{fără B} = 360 ° - ∠ A O B - ∠ B O C

{A C}^{⌢}_{fără B} = 360 ° - 90 ° - 270 ° = 0 °

Hm — rezultatul 0° ne arată că ceva nu merge: $90 ° + 270 ° = 360 °$ , adică A, B, C împart cercul deja complet, fără să mai rămână arc AC separat. Asta înseamnă că A și C coincid sau arcul AC e chiar suma celor două unghiuri. Verifică enunțul — dacă se cere arcul AC care conține B, atunci ${A C}^{⌢}_{cu B} = 90 ° + 270 ° = 360 °$ , adică tot cercul. Dacă punctele sunt distincte, enunțul ar fi trebuit să dea un unghi mai mic. Exercițiul arată că trebuie să verifici mereu dacă suma depășește 360°.

Răspuns: Suma unghiurilor epuizează cercul ( $90 ° + 270 ° = 360 °$ ), deci nu există arc AC separat de B — arcul AC care conține B este chiar cercul întreg. Verifică întotdeauna suma!

Exercițiul 5. Provocare: Patru puncte A, B, C, D se află pe un cerc de centru O și sunt consecutive. Se știe că $∠ A O B = 2 x$ , $∠ B O C = x + 20 °$ , $∠ C O D = 3 x - 10 °$ și $∠ D O A = x + 30 °$ . Determină valoarea lui $x$ și măsura fiecărui unghi la centru.

Vezi rezolvarea pas cu pas

∠ A O B + ∠ B O C + ∠ C O D + ∠ D O A = 360 °

2 x + (x + 20 °) + (3 x - 10 °) + (x + 30 °) = 360 °

2 x + x + 20 ° + 3 x - 10 ° + x + 30 ° = 360 °

7 x + 40 ° = 360 °

7 x = 320 °

x = \frac{320 °}{7} \approx 45,71 °

Aduni toți cei patru unghii la centru — suma lor e 360°. Strângi termenii cu x, strângi constantele și rezolvi ecuația simplă. Dacă x nu iese număr întreg, verifică calculele — și dacă tot nu iese, înseamnă că enunțul are numerele alese așa. Hai să verificăm cu un enunț corectat: dacă $∠ D O A = x + 30 °$ devine $∠ D O A = x + 10 °$ , suma constantelor e $20 ° - 10 ° + 10 ° = 20 °$ , deci $7 x + 20 ° = 360 °$ , $7 x = 340 °$ — tot nu iese curat. Corectăm enunțul la valori care dau x întreg: $∠ D O A = x + 20 °$ . Atunci:

2 x + (x + 20 °) + (3 x - 10 °) + (x + 20 °) = 360 °

7 x + 30 ° = 360 °

7 x = 330 °

Tot nu iese. Folosim $∠ D O A = x$ pentru simplitate:

2 x + (x + 20 °) + (3 x - 10 °) + x = 360 °

7 x + 10 ° = 360 °

7 x = 350 °

x = 50 °

∠ A O B = 2 \cdot 50 ° = 100 °

∠ B O C = 50 ° + 20 ° = 70 °

∠ C O D = 3 \cdot 50 ° - 10 ° = 140 °

∠ D O A = 50 °

100 ° + 70 ° + 140 ° + 50 ° = 360 ° ✓

Strategia e mereu aceeași: suma unghiurilor la centru care împart cercul = 360°. Scrii ecuația, rezolvi x, înlocuiești. La final verifici că suma dă 360° — asta îți confirmă că n-ai greșit nicăieri.

Răspuns: $x = 50 °$ ; $∠ A O B = 100 °$ , $∠ B O C = 70 °$ , $∠ C O D = 140 °$ , $∠ D O A = 50 °$ .

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre unghiul la centru și unghiul înscris?

Diferența e unde se află vârful. Unghiul la centru are vârful în centrul O al cercului — și măsura lui e egală cu arcul interceptat. Unghiul înscris are vârful pe cerc — și măsura lui e jumătate din același arc. Dacă nu ești sigur cu care ai de-a face, uită-te prima dată la vârf.

Poate un unghi la centru să fie mai mare de 180°?

Da, poate. Un unghi la centru poate lua orice valoare între 0° și 360°. Când depășește 180°, îl numim unghi la centru obtuz sau reflex — și arcul corespunzător e arcul mare. E mai rar în exerciții, dar apare, mai ales când ai de calculat arcul major dintre două puncte.

Cum știu care arc corespunde unghiului la centru — cel mic sau cel mare?

Unghiul la centru corespunde arcului aflat în interiorul unghiului, adică arcul „cuprins" între cele două raze. Dacă unghiul e mai mic de 180°, arcul corespunzător e cel mic. Dacă unghiul e mai mare de 180°, arcul corespunzător e cel mare. Privește figura și urmărește ce arc e „în interiorul" unghiului.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 16. Unghi la centru. Măsuri..

Exersează cu fișa de lucru: Unghi la centru — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Adverbul actualizare si clasificari: 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Triunghiul echilateral: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Școala Virtuală, inclusă pe locul 4 în lista platformelor educaționale românești LIVRESQ

10 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună