de Echipa Școala Virtuală10 septembrie 2026

Triunghiul echilateral: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

Dacă cineva îți spune "triunghi echilateral", probabil îți vine în minte un triunghi care "arată bine" — simetric, ordonat, cu toate laturile egale. Și ai dreptate. Dar triunghiul echilateral ascunde niște proprietăți surprinzătoare pe care mulți elevi le uită exact când au nevoie de ele. De exemplu, știai că toate unghiurile lui sunt egale — și că asta înseamnă automat că fiecare are exact 60°? Nu e o regulă pe care trebuie s-o memorezi orb. E o consecință logică, și o să înțelegi imediat de ce. Hai să vedem cum funcționează triunghiul echilateral de la zero: ce e, ce proprietăți are, cum calculezi perimetrul și înălțimea, și unde greșesc cei mai mulți elevi.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce face un triunghi să fie echilateral și de ce unghiurile sunt mereu 60°
Vei ști să calculezi perimetrul unui triunghi echilateral din orice enunț
Vei ști să calculezi înălțimea și aria unui triunghi echilateral pas cu pas
Vei recunoaște cele mai frecvente greșeli și vei ști cum să le eviți

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Ce este, de fapt, un triunghi echilateral

Să zicem că ai un triunghi oarecare. Dacă toate cele trei laturi ale lui au aceeași lungime, atunci e echilateral. Atât. De fapt, cuvântul "echilateral" vine din latină: aequus (egal) + latus (latură). Deci îți spune chiar în nume ce e. Acum, din faptul că laturile sunt egale, decurge ceva important: și unghiurile sunt egale. Iar dacă suma unghiurilor în orice triunghi e 180°, și cele trei unghiuri sunt egale, atunci fiecare unghi face exact $180 ° \div 3 = 60 °$ . Nu e o regulă separată de memorat — e o concluzie logică. Un triunghi echilateral cu latura de 5 cm arată identic ca unul cu latura de 10 cm, doar că e mai mic. Forma e mereu aceeași.

💡 Regula de bază

Un triunghi echilateral are toate cele trei laturi egale și toate cele trei unghiuri egale, fiecare măsurând $60 °$ . Dacă notezi latura cu $a$ , atunci perimetrul este $P = 3 a$ , iar înălțimea este $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Perimetrul — cel mai simplu calcul

Perimetrul unui triunghi înseamnă suma tuturor laturilor. La un triunghi obișnuit aduni trei numere diferite. La triunghiul echilateral toate laturile sunt egale, deci nu aduni — pur și simplu înmulțești cu 3. Dacă latura e $a$ , atunci $P = a + a + a = 3 a$ . Practic, ăsta e și motivul pentru care triunghiul echilateral apare atât de des în exerciții — calculele sunt curate. Știi o latură, știi totul.

💡 Formula perimetrului

Dacă latura triunghiului echilateral este $a$ , atunci: $P = 3 a$ . Simplu și direct — niciun alt calcul necesar.

Înălțimea și aria — unde apare radical din 3

Înălțimea unui triunghi echilateral se obține dintr-o idee simplă. Trasezi înălțimea dintr-un vârf pe latura opusă — și, pentru că triunghiul e simetric, aceasta împarte baza exact în două jumătăți egale. Obții un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $a$ și o catetă de $\frac{a}{2}$ . Aplici teorema lui Pitagora și găsești cealaltă catetă — adică înălțimea $h$ . Rezultatul e $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Știu că radicalul arată intimidant. Nu e. E doar un număr — aproximativ 1,73. Iar aria triunghiului echilateral e $A = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ , care vine direct din formula generală a ariei: $A = \frac{baza \times înălțimea}{2}$ .

💡 Formulele pentru înălțime și arie

Pentru un triunghi echilateral cu latura $a$ :
Înălțimea: $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$
Aria: $A = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Un triunghi echilateral are latura de 6 cm. Calculează perimetrul, înălțimea și aria triunghiului.

🔢 Rezolvare

P = 3 a = 3 \times 6 = 18 cm

h = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{6 \sqrt{3}}{2} = 3 \sqrt{3} cm

A = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{6^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} {cm}^{2}

✅ Explicație

Perimetrul e cel mai rapid — pur și simplu înmulțești latura cu 3. Pentru înălțime, introduci $a = 6$ în formulă și simplifici fracția. La arie, ridici latura la pătrat, înmulțești cu $\sqrt{3}$ și împarți la 4. Calculele se simplifică frumos când latura e un număr par, exact cum e cazul aici.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Confundarea perimetrului cu aria. Mulți elevi scriu $P = a^{2}$ sau folosesc formula ariei când li se cere perimetrul.

✅ Corect: Perimetrul e suma laturilor — adică $P = 3 a$ , un număr simplu. Aria implică $\sqrt{3}$ și puterea a doua. Dacă în rezultat apare $\sqrt{3}$ , probabil ai calculat aria, nu perimetrul.

❌ Greșeala #2: La calculul înălțimii cu Pitagora, unii elevi uită că baza se împarte în două și folosesc $a$ în loc de $\frac{a}{2}$ ca și catetă.

✅ Corect: Înălțimea împarte baza exact pe jumătate — deci cateta mică din triunghiul dreptunghic e $\frac{a}{2}$ , nu $a$ . Pitagora devine: $h^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} = a^{2}$ , de unde găsești $h = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Un triunghi echilateral are latura de 9 cm. Calculează perimetrul.

Vezi rezolvarea pas cu pas

P = 3 a

P = 3 \times 9

P = 27 cm

Știi latura, înmulțești cu 3. Atât. La triunghiul echilateral, perimetrul e mereu cel mai rapid calcul.

Răspuns: $P = 27$ cm

Exercițiul 2. Perimetrul unui triunghi echilateral este 36 cm. Află latura.

Vezi rezolvarea pas cu pas

P = 3 a

36 = 3 a

a = 36 \div 3 = 12 cm

De data asta știi perimetrul și cauți latura — deci împarți perimetrul la 3. E același raționament, doar inversat.

Răspuns: $a = 12$ cm

Exercițiul 3. Un triunghi echilateral are latura de 8 cm. Calculează înălțimea lui.

Vezi rezolvarea pas cu pas

h = \frac{a \sqrt{3}}{2}

h = \frac{8 \sqrt{3}}{2}

h = 4 \sqrt{3} cm

Introduci $a = 8$ în formulă și simplifici fracția împărțind 8 la 2. Rezultatul rămâne cu $\sqrt{3}$ — asta e normal, nu greșeală.

Răspuns: $h = 4 \sqrt{3}$ cm

Exercițiul 4. Calculează aria unui triunghi echilateral cu latura de 10 cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas

A = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

A = \frac{10^{2} \cdot \sqrt{3}}{4}

A = \frac{100 \sqrt{3}}{4}

A = 25 \sqrt{3} {cm}^{2}

Ridici latura la pătrat ( $10^{2} = 100$ ), înmulțești cu $\sqrt{3}$ , împarți la 4. $100 \div 4 = 25$ , deci aria e $25 \sqrt{3}$ cm². Fracția se simplifică frumos.

Răspuns: $A = 25 \sqrt{3}$ cm²

Exercițiul 5. Provocare: Aria unui triunghi echilateral este $36 \sqrt{3}$ cm². Găsește latura și perimetrul triunghiului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

A = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

36 \sqrt{3} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}

a^{2} = \frac{36 \sqrt{3} \times 4}{\sqrt{3}}

a^{2} = 36 \times 4 = 144

a = \sqrt{144} = 12 cm

P = 3 a = 3 \times 12 = 36 cm

De data asta pornești din arie și cauți latura — deci lucrezi invers. Introduci aria în formulă, simplifici $\sqrt{3}$ din ambii membri (se anulează), și obții $a^{2} = 144$ . Radical din 144 e 12, pentru că $12 \times 12 = 144$ . Apoi perimetrul vine imediat.

Răspuns: $a = 12$ cm, $P = 36$ cm

Întrebări frecvente

De ce toate unghiurile unui triunghi echilateral sunt 60°?

Suma unghiurilor în orice triunghi e mereu 180°. Dacă toate trei unghiurile sunt egale — ceea ce se întâmplă atunci când toate laturile sunt egale — atunci fiecare unghi e $180 ° \div 3 = 60 °$ . Nu e o regulă separată, e o consecință directă a două lucruri pe care le știai deja.

Trebuie să știu pe de rost formula înălțimii?

Da, e bine s-o știi. Dar și mai bine e să înțelegi de unde vine — din teorema lui Pitagora aplicată pe jumătatea triunghiului. Dacă o uiți, o poți reconstrui pe loc: trasezi înălțimea, obții un triunghi dreptunghic cu ipotenuza $a$ și cateta $\frac{a}{2}$ , și aplici Pitagora. Durează un minut și e mai sigur decât memoria.

Un triunghi echilateral e și isoscel?

Da. Orice triunghi echilateral e și isoscel — pentru că un triunghi isoscel are cel puțin două laturi egale, iar la triunghiul echilateral toate trei sunt egale. Invers nu e valabil: nu orice isoscel e echilateral. Gândește-te la el ca la un caz special, mai simetric, al isoscelului.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 6. Triunghiul echilateral..

Exersează cu fișa de lucru: Triunghiul echilateral — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Unghi la centru: formulă + 5 exerciții rezolvate

11 septembrie 2026

Adverbul actualizare si clasificari: 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Școala Virtuală, inclusă pe locul 4 în lista platformelor educaționale românești LIVRESQ

10 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună