Când folosesc și când ?

Enunțul problemei îți spune întotdeauna ce valoare să folosești — nu alegi tu. Dacă nu scrie nimic, folosește . Valoarea este practică atunci când raza este multiplu de 7, pentru că fracția se simplifică și eviți zecimalele lungi. Niciodată nu le amesteca în aceeași problemă.

11. Lungimea cercului și aria discului.

Cercul e peste tot în jurul tău — roata bicicletei, farfuria, capacul de borcan — dar câți știu exact cât măsoară marginea sau suprafața lui? Lecția asta îți arată pas cu pas cum se calculează lungimea cercului și aria discului, cele două formule pe care le vei folosi la fiecare test de geometrie din clasa a 6-a. Plecăm de la numărul magic $\pi \approx 3,14$ , înțelegem de unde vine, și ajungem să rezolvăm probleme concrete: găsești raza, calculezi perimetrul unui parc circular, afli câtă vopsea trebuie pentru un cerc desenat pe asfalt. Fără memorizare oarbă — cu sens.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege ce reprezintă numărul $\pi$ și de ce apare în formulele cercului.
Vei ști să calculezi lungimea cercului folosind formula $C = 2\pi r$ sau $C = \pi d$ .
Vei ști să determini aria discului cu formula $\mathcal{A} = \pi r^2$ , chiar și când ți se dă diametrul.
Vei putea rezolva probleme în care trebuie să găsești raza sau diametrul pornind de la lungime sau arie.

Exemplu rezolvat

Enunț

Un teren de joacă circular are diametrul de $14 \text{ m}$ . Calculează lungimea gardului care înconjoară terenul și suprafața totală a acestuia. Folosește $\pi = \frac{22}{7}$ .

Rezolvare

Fiecare pas, separat:

r = \frac{d}{2} = \frac{14}{2} = 7 \text{ m}

C = 2 \cdot \pi \cdot r = 2 \cdot \frac{22}{7} \cdot 7 =

2 \cdot 22 = 44 \text{ m}

\mathcal{A} = \pi \cdot r^2 = \frac{22}{7} \cdot 7^2 =

\frac{22}{7} \cdot 49 = 22 \cdot 7 = 154 \text{ m}^2

\text{Lungimea gardului} = 44 \text{ m}, \quad \text{Aria terenului} =

154 \text{ m}^2

Explicație

Primul pas e mereu să obții raza — toate formulele pornesc de la ea. Alegând $\pi = \frac{22}{7}$ și $r = 7$ , fracțiile se simplifică frumos și calculele rămân întregi. Lungimea cercului măsoară conturul (gardul), iar aria discului măsoară suprafața (iarba). Cele două formule răspund la întrebări diferite, deci nu le amesteca.

Idei cheie de reținut

Lungimea cercului se calculează cu $C = 2\pi r$ — dacă ai diametrul, împarte-l la 2 înainte de orice altceva.
Aria discului este $\mathcal{A} = \pi r^2$ — atenție, doar raza se ridică la pătrat, nu și $\pi$ .
La probleme, citește atent dacă ți se dă raza sau diametrul; confuzia dintre ele e cea mai frecventă greșeală la test.

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre cerc și disc? Nu e același lucru?

Cercul este doar linia curbă — marginea. Discul este suprafața plină din interior, inclusiv marginea. Când calculezi lungimea cercului, măsori conturul. Când calculezi aria discului, măsori tot ce e înăuntru. La probleme, cuvântul din enunț îți spune exact la ce să te gândești.

Când folosesc

\pi = 3,14

și când

\pi = \frac{22}{7}

Enunțul problemei îți spune întotdeauna ce valoare să folosești — nu alegi tu. Dacă nu scrie nimic, folosește $\pi \approx 3,14$ . Valoarea $\frac{22}{7}$ este practică atunci când raza este multiplu de 7, pentru că fracția se simplifică și eviți zecimalele lungi. Niciodată nu le amesteca în aceeași problemă.

Ce fac dacă mi se dă aria și trebuie să găsesc raza?

Scrii formula $\mathcal{A} = \pi r^2$ , înlocuiești valoarea ariei, împarți la $\pi$ și obții $r^2$ . Apoi extragi radicalul pătrat. De exemplu, dacă $\mathcal{A} = 314 \text{ cm}^2$ , atunci $r^2 = \frac{314}{3,14} = 100$ , deci $r = 10 \text{ cm}$ . Mersul invers al formulei funcționează mereu la fel.

Matematică clasa a VII-a

11. Lungimea cercului și aria discului.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente