3. Unghi înscris în cerc. Triunghi înscris în cerc. Patrulater înscris în cerc.

Cercul ascunde mai multă geometrie decât pare la prima vedere — și această lecție îți arată exact unde e comoara. Vei vedea cum un unghi înscris în cerc se comportă față de unghiul la centru, cum se construiește un triunghi înscris în cerc și ce proprietăți speciale câștigă un patrulater când toate vârfurile lui stau pe același cerc. Sunt concepte care apar aproape în fiecare subiect de concurs și de teză, iar odată ce înțelegi logica din spate, nu mai ai nevoie să memorezi formule — le deduci singur. Lecția video îți explică pas cu pas, cu figuri clare, astfel încât să poți rezolva orice problemă cu poligoane înscrise în cerc fără să te blochezi.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege relația dintre unghiul înscris în cerc și unghiul la centru care subîntinde același arc.
Vei ști să calculezi măsura unui unghi înscris folosind arcul corespunzător.
Vei înțelege proprietățile triunghiului înscris în cerc, inclusiv cazul când un unghi este drept.
Vei ști să demonstrezi și să aplici proprietatea patrulaterului înscris în cerc: suma unghiurilor opuse este $180°$ .

Exemplu rezolvat

Enunț

Patrulaterul $ABCD$ este înscris în cerc. Știind că $\angle DAB = 110°$ și $\angle ABC = 95°$ , calculați măsurile unghiurilor $\angle BCD$ și $\angle CDA$ .

Rezolvare

Aplicăm proprietatea patrulaterului înscris în cerc: unghiurile opuse sunt suplementare.

\angle DAB + \angle BCD = 180°

110° + \angle BCD = 180°

\angle BCD = 70°

\angle ABC + \angle CDA = 180°

95° + \angle CDA = 180°

\angle CDA = 85°

Explicație

Când un patrulater este înscris în cerc, orice pereche de unghiuri opuse — adică $\angle DAB$ cu $\angle BCD$ , respectiv $\angle ABC$ cu $\angle CDA$ — are suma egală cu $180°$ . Motivul: fiecare unghi înscris „vede” un arc, iar cele două arce opuse formează împreună cercul întreg de $360°$ . Împărțind la 2, obții $180°$ pentru fiecare pereche.

Idei cheie de reținut

Unghiul înscris în cerc este jumătate din unghiul la centru care subîntinde același arc: $\angle \text{înscris} = \dfrac{1}{2} \cdot \text{arc}$ .
Dacă un triunghi este înscris în cerc și una dintre laturi este diametrul, atunci unghiul opus acelei laturi este drept ( $90°$ ).
Într-un patrulater înscris în cerc, suma oricăror două unghiuri opuse este mereu $180°$ — aceasta este proprietatea de verificat rapid la orice problemă.

Întrebări frecvente

Cum știu dacă un patrulater este înscris în cerc sau nu?

Verifici dacă suma unghiurilor opuse este $180°$ . Dacă $\angle A + \angle C = 180°$ și $\angle B + \angle D = 180°$ , patrulaterul poate fi înscris în cerc. La problemele de la clasă, de obicei se specifică explicit acest lucru, dar la concursuri trebuie s-o demonstrezi sau s-o verifici cu această proprietate.

Ce greșeală se face cel mai des la unghiul înscris în cerc?

Cea mai frecventă confuzie: elevii iau măsura arcului și o pun direct ca măsură a unghiului înscris, fără să împartă la 2. Reține că unghiul înscris este jumătate din arcul pe care îl subîntinde, nu egal cu el. Dacă arcul este $140°$ , unghiul înscris este $70°$ , nu $140°$ .

De ce orice unghi înscris în semicerc este drept?

Semicercul corespunde unui arc de $180°$ (un diametru îl delimitează). Unghiul înscris care subîntinde acel arc este $\frac{180°}{2} = 90°$ . Practic, ori de câte ori vârful unui unghi stă pe cerc și „privește” un diametru, unghiul respectiv este garantat drept — un truc extrem de util la probleme.

Matematică clasa a VII-a

3. Unghi înscris în cerc. Triunghi înscris în cerc. Patrulater înscris în cerc.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente