18. Minimul sau maximul unei expresii.

Ai ajuns la una dintre cele mai interesante provocări din matematică: să găsești minimul sau maximul unei expresii fără să testezi o mie de valori. Sună complicat? Deloc — e vorba de a înțelege cum se comportă o expresie algebrică în funcție de variabilele ei. Lecția aceasta îți arată exact cum să determini cea mai mică sau cea mai mare valoare pe care o poate lua o expresie, folosind proprietăți ale pătratelor perfecte și ale modulului. Vei vedea că secretul stă în a rescrie expresia într-o formă care „trădează” imediat minimul sau maximul. Util la olimpiade, la teze, dar mai ales când vrei să înțelegi de ce unele expresii nu pot coborî sub o anumită valoare — indiferent ce număr introduci.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege de ce $a^2 \geq 0$ și $|a| \geq 0$ sunt punctul de plecare pentru orice problemă de minim/maxim.
Vei ști să rescrii o expresie algebrică sub forma unui pătrat perfect plus o constantă, pentru a-i identifica minimul.
Vei ști să determini pentru ce valoare a variabilei se atinge minimul sau maximul expresiei.
Vei înțelege când o expresie are minim, când are maxim și când nu are niciunul dintre ele.

Exemplu rezolvat

Enunț

Găsește valoarea minimă a expresiei $E(x) = x^2 – 6x + 11$ și precizează pentru ce valoare a lui $x$ se atinge acest minim.

Rezolvare

Rescriem expresia completând pătratul:

E(x) = x^2 – 6x + 11

E(x) = x^2 – 2 \cdot 3 \cdot x + 9 – 9 + 11

E(x) = (x – 3)^2 + 2

\text{Deoarece } (x-3)^2 \geq 0 \text{, avem } E(x) \geq 2

E_{\min} = 2, \text{ atins pentru } x = 3

Explicație

Cheia este că orice pătrat perfect este $\geq 0$ . Rescriind expresia ca $(x-3)^2 + 2$ , vedem că valoarea minimă a întregii expresii este $2$ — cea mai mică valoare pe care o poate lua $(x-3)^2$ este zero, iar asta se întâmplă exact când $x = 3$ . Orice alt $x$ face pătratul pozitiv, deci expresia crește.

Idei cheie de reținut

Orice expresie de forma $(x – a)^2 + b$ are minimul $b$ , atins pentru $x = a$ — pătratul nu poate fi negativ.
Dacă expresia este de forma $-(x-a)^2 + b$ , atunci are maximul $b$ , tot pentru $x = a$ .
Minimul sau maximul nu înseamnă că expresia „stă” acolo — înseamnă că nu poate trece de acea valoare într-o anumită direcție.

Întrebări frecvente

Cum știu dacă expresia are minim sau maxim, nu invers?

Uită-te la semnul din fața lui $x^2$ . Dacă coeficientul este pozitiv, expresia are minim — „gura parabolei” e în sus. Dacă este negativ, are maxim — „gura” e în jos. La clasele 5-8 vei întâlni cel mai des cazul cu minim, dar merită să știi regula completă de pe acum.

Ce greșesc cel mai des colegii mei la acest tip de exercițiu?

Greșeala clasică este să adauge termenul necesar pentru a completa pătratul, dar să uite să îl și scadă imediat după. Dacă adaugi $9$ și nu scazi $9$ , ai schimbat expresia, nu ai rescris-o. Mereu adaugă și scade același număr — valoarea expresiei trebuie să rămână identică.

Pot folosi această metodă și când am mai mulți termeni sau și cu modulul?

Da! Modulul funcționează similar: $|x – a| \geq 0$ , deci o expresie de forma $|x – a| + b$ are minimul $b$ , atins pentru $x = a$ . Când ai expresii mai complexe, le despici în bucăți — fiecare pătrat sau modul contribuie separat la minim, iar le aduni la final.

Matematică clasa a VIII-a

18. Minimul sau maximul unei expresii.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente