20. Fracții algebrice. Determinarea domeniului de definiție (condiții de existență).

Fracțiile algebrice sunt exact ca fracțiile obișnuite pe care le știi deja — doar că în loc de numere simple, la numărător și numitor apar expresii cu litere. Iar cea mai importantă întrebare pe care trebuie să ți-o pui înainte de orice calcul este: pentru ce valori ale lui x fracția există cu adevărat? Lecția aceasta te învață cum să determini domeniul de definiție al unei fracții algebrice, adică mulțimea valorilor pentru care expresia are sens. Vei scăpa de greșeala clasică de a împărți la zero fără să îți dai seama, și vei ști exact ce condiții trebuie să scrii la orice exercițiu de acest tip — la teză sau la olimpiadă.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege ce înseamnă domeniul de definiție al unei fracții algebrice și de ce numitorul zero este interzis.
Vei ști să identifici condițiile de existență pentru fracții algebrice simple și mai complexe.
Vei ști să rezolvi ecuații și inecuații de gradul I rezultate din condiția $\text{numitor} \neq 0$ .
Vei ști să scrii corect domeniul de definiție ca mulțime, eliminând valorile excluse.

Exemplu rezolvat

Enunț

Determină domeniul de definiție al fracției algebrice $\dfrac{x^2 + 3x – 1}{x^2 – 5x + 6}$ .

Rezolvare

Condiția de existență: numitorul ≠ 0.

x^2 – 5x + 6 \neq 0

x^2 – 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0

x = 2 \quad \text{sau} \quad x = 3

D = \mathbb{R} \setminus \{2,\ 3\}

Explicație

Numărătorul nu pune nicio restricție — poate fi orice. Numitorul, în schimb, nu are voie să fie zero. Rezolvăm ecuația numitorului și găsim valorile interzise: $x = 2$ și $x = 3$ . Le excludem din $\mathbb{R}$ și obținem domeniul. Numitorul a fost factorizat ușor găsind doi factori ai lui 6 cu suma 5.

Idei cheie de reținut

Condiția de existență a oricărei fracții algebrice este întotdeauna numitor $\neq 0$ — asta e singura regulă de pornire.
Domeniul de definiție este $\mathbb{R}$ din care scazi valorile ce anulează numitorul; dacă numitorul nu se poate anula niciodată (ex: $x^2 + 1$ ), domeniul este tot $\mathbb{R}$ .
Dacă fracția are mai mulți numitori (la un șir de fracții), pui condiția pentru fiecare numitor în parte și intersectezi rezultatele.

Întrebări frecvente

De ce nu putem împărți la zero? Nu e zero tot un număr?

Zero este număr, dar împărțirea la zero nu produce niciun rezultat definit în matematică — nu e infinit, nu e zero, pur și simplu nu există. Dacă o fracție algebrică are numitorul zero într-un punct, fracția nu are valoare în acel punct, exact cum un drum blocat nu te duce nicăieri. De aceea excludem acele valori din domeniu.

Ce fac dacă numitorul este un produs, de exemplu ?

Minunat — munca e deja pe jumătate făcută! Un produs este zero când cel puțin un factor este zero. Pui condiția $x – 1 \neq 0$ și $x + 4 \neq 0$ separat, obții $x \neq 1$ și $x \neq -4$ , și domeniul devine $\mathbb{R} \setminus \{-4,\ 1\}$ . Nu trebuie să înmulțești factorii înapoi.

Care este cea mai frecventă greșeală la acest tip de exercițiu?

Cea mai comună greșeală e să rezolvi ecuația numitorului și să incluzi valorile găsite în domeniu, în loc să le excluzi. Reține: valorile care anulează numitorul sunt tocmai cele interzise. Dacă găsești $x = 5$ , scrii $x \neq 5$ , nu $x = 5$ . O confuzie mică, dar cu impact mare la corectare.

Matematică clasa a VIII-a

20. Fracții algebrice. Determinarea domeniului de definiție (condiții de existență).

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente