46. Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Lungimea proiecției unui segment pe un plan

Știi acel moment când privești o scară lipită de un perete și te întrebi ce unghi face cu podeaua? Exact despre asta vorbim astăzi — unghiul dintre o dreaptă și un plan. Lecția te poartă pas cu pas prin definiție, prin cum se construiește proiecția unui segment pe un plan și, cel mai important, prin formula care leagă lungimea segmentului de lungimea proiecției sale. Vei vedea că totul se reduce la un triunghi dreptunghic bine ales, iar teorema lui Pitagora îți devine cel mai bun prieten. Fie că ți se pare geometria în spațiu un labirint, fie că vrei să fii pregătit la orice test de clasa a VIII-a, această lecție îți dă instrumentele concrete să rezolvi orice problemă de acest tip cu calm și siguranță.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege cum se definește unghiul dintre o dreaptă și un plan și de ce proiecția joacă rolul central în această definiție.
Vei ști să construiești proiecția unui segment pe un plan, identificând corect piciorul perpendicularei.
Vei ști să aplici relația dintre lungimea unui segment, lungimea proiecției sale și unghiul pe care dreapta îl face cu planul.
Vei înțelege cazurile particulare: când dreapta este perpendiculară pe plan (unghi de $90°$ ) și când dreapta este paralelă cu planul (unghi de $0°$ ).

Exemplu rezolvat

Enunț

Segmentul $AB$ are lungimea $10$ cm și face un unghi de $30°$ cu planul $\alpha$ . Determină lungimea proiecției segmentului $AB$ pe planul $\alpha$ .

Rezolvare

Fie $A’$ proiecția lui $A$ pe planul $\alpha$ , iar $B’ = B$ (presupunem că $B$ aparține planului). Proiecția segmentului $AB$ pe plan este $A’B$ , iar unghiul dintre $AB$ și plan este $\angle ABA’ = 30°$ .

\cos(30°) = \frac{A’B}{AB}

\cos(30°) = \frac{\sqrt{3}}{2}

A’B = AB \cdot \cos(30°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}

A’B = 5\sqrt{3} \text{ cm}

Explicație

Cheia este că triunghiul format de segment, proiecția sa și perpendiculara pe plan este dreptunghic. Unghiul dintre dreaptă și plan se află chiar la baza acestui triunghi, lângă proiecție. De aceea scriem $\cos(\text{unghi}) = \frac{\text{proiecție}}{\text{segment}}$ — relație standard din trigonometria triunghiului dreptunghic, pe care o știi deja din clasa a VII-a.

Idei cheie de reținut

Proiecția unui segment pe un plan se obține coborând perpendiculare din capetele segmentului pe plan — proiecția este segmentul dintre picioarele perpendicularelor.
Relația fundamentală este $A’B’ = AB \cdot \cos\alpha$ , unde $\alpha$ este unghiul dintre dreaptă și plan; cu cât unghiul e mai mare, cu atât proiecția e mai scurtă.
Când dreapta este perpendiculară pe plan, proiecția sa este un punct (lungime zero); când dreapta este inclusă în plan sau paralelă cu el, proiecția are aceeași lungime cu segmentul.

Întrebări frecvente

Cum știu sigur care este unghiul dintre dreaptă și plan — nu cumva îl confund cu alt unghi din figură?

Trucul e simplu: unghiul dintre o dreaptă și un plan se măsoară întotdeauna între dreaptă și proiecția ei pe plan. Dacă dreapta coboară ca un tobogan spre plan, unghiul e cel de jos, nu cel de sus. Desenează triunghiul dreptunghic separat și identifică ipotenuza (segmentul) și cateta alăturată unghiului (proiecția) — confuzia dispare imediat.

De ce apare cosinus și nu sinus în formula proiecției?

Pentru că proiecția este cateta adiacentă unghiului dintre dreaptă și plan, iar segmentul original este ipotenuza triunghiului dreptunghic format. Prin definiție, $\cos\alpha = \frac{\text{catetă adiacentă}}{\text{ipotenuză}}$ , deci $\text{proiecție} = \text{segment} \cdot \cos\alpha$ . Sinusul ți-ar da lungimea perpendicularei coborâte pe plan, nu a proiecției.

Ce se întâmplă dacă ambele capete ale segmentului sunt deasupra planului, nu doar unul?

Procedezi la fel: cobori perpendiculare din ambele capete pe plan, obții $A’$ și $B’$ , și proiecția segmentului $AB$ este segmentul $A’B’$ . Relația $A’B’ = AB \cdot \cos\alpha$ rămâne valabilă, unde $\alpha$ este unghiul pe care dreapta $AB$ îl face cu planul $\alpha$ .

Matematică clasa a VIII-a

46. Unghiul dintre o dreaptă și un plan. Lungimea proiecției unui segment pe un plan

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente