4. Graficul unei funcții. Reprezentarea geometrică a graficului unei funcții.

Știi cum uneori o imagine explică mai bine decât o sută de cuvinte? Exact asta face graficul unei funcții — transformă o regulă abstractă, scrisă cu litere și numere, într-o formă vizuală pe care o poți vedea, analiza și înțelege dintr-o privire. Lecția aceasta îți arată cum să construiești și să interpretezi reprezentarea geometrică a graficului unei funcții, pas cu pas, fără să te pierzi în calcule. Vei afla ce înseamnă că un punct aparține graficului, cum alegi valorile potrivite pentru tabel și cum unești punctele ca să obții o curbă sau o dreaptă cu sens matematic. Dacă ți s-a părut vreodată că funcțiile sunt prea abstracte, această lecție îți schimbă perspectiva.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege ce este graficul unei funcții și ce informații geometrice transmite.
Vei ști să verifici dacă un punct dat aparține sau nu graficului unei funcții.
Vei ști să construiești un tabel de valori și să reprezinți graficul în sistemul de axe.
Vei înțelege de ce graficul unei funcții de gradul I este întotdeauna o dreaptă.

Exemplu rezolvat

Enunț

Fie funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , $f(x) = 2x – 1$ . Completează tabelul de valori pentru $x \in \{-1,\ 0,\ 1,\ 2\}$ și reprezintă graficul funcției în sistemul de axe ortogonale.

Rezolvare

Calculăm f(x) pentru fiecare valoare a lui x, obținem punctele, apoi le reprezentăm:

f(-1) = 2 \cdot (-1) – 1 = -2 – 1 = -3

\Rightarrow \text{punctul } A(-1,\ -3)

f(0) = 2 \cdot 0 – 1 = -1 \Rightarrow \text{punctul } B(0,\ -1)

f(1) = 2 \cdot 1 – 1 = 1 \Rightarrow \text{punctul } C(1,\ 1)

f(2) = 2 \cdot 2 – 1 = 3 \Rightarrow \text{punctul } D(2,\ 3)

\text{Graficul este dreapta care trece prin } A,\ B,\ C,\ D.

Explicație

Înlocuim pe rând fiecare valoare a lui $x$ în expresia $f(x) = 2x – 1$ și obținem coordonata $y$ a fiecărui punct. Perechile $(x, f(x))$ se marchează în sistemul de axe. Deoarece funcția este de gradul I, toate punctele sunt coliniare — adică se află pe aceeași dreaptă.

Idei cheie de reținut

Graficul unei funcții este mulțimea tuturor perechilor $(x, f(x))$ reprezentate ca puncte în plan.
Un punct $P(a, b)$ aparține graficului dacă și numai dacă $f(a) = b$ — verifici simplu prin înlocuire.
Pentru o funcție de forma $f(x) = mx + n$ , graficul este mereu o dreaptă; îți ajung două puncte ca s-o trasezi corect.

Întrebări frecvente

Câte puncte trebuie să calculez ca să trasez corect graficul?

Pentru o funcție de gradul I (dreaptă) sunt suficiente două puncte, dar recomand trei — al treilea verifică dacă nu ai greșit calculul. Pentru funcții de grad mai mare, cu cât folosești mai multe puncte, cu atât graficul iese mai precis. La teste, trei până la cinci puncte bine alese sunt de regulă suficiente.

Cum știu dacă un punct este pe grafic sau nu?

Simplu: iei coordonata $x$ a punctului, o înlocuiești în formula funcției și calculezi $f(x)$ . Dacă rezultatul este egal cu coordonata $y$ a punctului, atunci punctul se află pe grafic. Dacă nu, punctul este în afara graficului. Este o verificare rapidă de făcut întotdeauna la test.

Ce greșeală fac cel mai des elevii când reprezintă graficul?

Cel mai frecvent se greșește la marcarea punctelor în sistemul de axe — se inversează coordonatele, adică se pune $y$ pe axa orizontală și $x$ pe cea verticală. Ține minte: primul număr din pereche $(x, y)$ merge întotdeauna pe axa orizontală (Ox), al doilea pe axa verticală (Oy).

Matematică clasa a VIII-a

4. Graficul unei funcții. Reprezentarea geometrică a graficului unei funcții.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente