NUMERE IRAȚIONALE, definiție și recunoaștere - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

1. ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ este deja o fracție, deci este rațional.
2. $\sqrt{16}=4$, un număr întreg, deci rațional.
3. $\sqrt{7}$ este irațional, pentru că 7 nu este pătrat perfect.
4. $\mathrm{0,}(3)$ este o fracție zecimală periodică, deci rațională (este ${\displaystyle \frac{1}{3}}$).
5. $\pi$ este irațional prin definiție.

Răspuns: Raționale: ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, $\sqrt{16}$, $\mathrm{0,}(3)$. Iraționale: $\sqrt{7}$, $\pi$

1. $144={12}^2$, deci $\sqrt{144}=12$, rațional.
2. $121={11}^2$, deci $\sqrt{121}=11$, rațional.
3. $20$ nu este pătrat perfect ($4^2=16$, $5^2=25$), deci $\sqrt{20}$ este irațional.
4. $99$ nu este pătrat perfect ($9^2=81$, ${10}^2=100$), deci $\sqrt{99}$ este irațional.

Răspuns: Raționale: $\sqrt{144}=12$ și $\sqrt{121}=11$

1. Căutăm pătratele perfecte din jurul lui 17: $4^2=16$ și $5^2=25$.
2. Pentru că $16<17<25$, rezultă $\sqrt{16}<\sqrt{17}<\sqrt{25}$.
3. Deci $4<\sqrt{17}<5$.

Răspuns: $\sqrt{17}$ este între $4$ și $5$

1. $a$ are un bloc de cifre care se repetă exact, „45”, deci este o fracție zecimală periodică, deci rațională. De fapt $a=$ ${\displaystyle \frac{45}{99}}=$ ${\displaystyle \frac{5}{11}}$.
2. $b$ are zecimale infinite, dar niciun bloc nu se repetă identic la nesfârșit (blocul de patru crește mereu), deci nu este periodică: este irațională.

Răspuns: $a$ este rațional, $b$ este irațional

1. $50$ nu este pătrat perfect ($7^2=49$, $8^2=64$), deci $\sqrt{50}$ este irațional.
2. Pentru că $49<50<64$, rezultă $7<\sqrt{50}<8$.
3. Latura grădinii este un număr irațional, cuprins între $7$ m și $8$ m.

Răspuns: $\ell =\sqrt{50}$ m, irațional, $7<\ell <8$

1. a) Mulțimea numerelor reale este reuniunea raționalelor cu iraționalele, deci orice irațional este real. Adevărat.
2. b) Numerele iraționale sunt reale, dar nu raționale (de exemplu $\pi$). Fals.
3. c) Orice număr întreg $n$ se scrie ${\displaystyle \frac{n}{1}}$, deci este rațional, niciodată irațional. Adevărat.

Răspuns: a) adevărat, b) fals, c) adevărat

1. Presupunem, prin absurd, că $x$ ar fi rațional.
2. Atunci $\sqrt{3}=x-2$ ar fi o diferență de două numere raționale, deci ar fi rațional.
3. Dar $\sqrt{3}$ este irațional (3 nu e pătrat perfect), contradicție.
4. Deci presupunerea e falsă: $x=2+\sqrt{3}$ este irațional.

Răspuns: $x$ este irațional

1. Numerele naturale de la $10$ la $20$ sunt în total $11$.
2. Căutăm pătratele perfecte din acest interval: singurul este $16=4^2$.
3. Pentru $n=16$, $\sqrt{16}=4$ este rațional. Pentru celelalte $10$ valori, $\sqrt{n}$ este irațional.

Răspuns: $10$ valori