Proporții derivate — definiții si exerciții rezolvate

Stai cu un exercițiu în față și vezi scris ceva de genul „află proporția compusă prin alternare.” Citești de două ori. Poate și de trei. Și totuși nu știi exact ce să faci cu acea propoziție. Asta mi se întâmpla și mie în clasa a 6-a — proporțiile derivate mi se păreau o altă limbă, inventată special ca să mă piardă. De fapt, nu-s altceva decât același raport, rescris în feluri diferite. Practic, proporțiile derivate sunt variante ale aceleiași egalități — obținute prin câteva operații simple, pe care o să le faci tu singur la final. Hai să vedem exact ce înseamnă asta, pas cu pas, fără să sări peste nimic.

Proporția de bază — de unde plecăm

Să zicem că ai două rapoarte egale. De exemplu,  $\frac{2}{3}$  și  $\frac{4}{6}$ . Sunt egale? Da. Asta e o proporție. Scriem  $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$  și spunem că  $a$ ,  $b$ ,  $c$ ,  $d$  sunt în proporție. Simplu. Acum, proporțiile derivate sunt exact asta — iei această egalitate și o „răstorni” sau o „amesteci” în moduri precise, fără să strici egalitatea. E ca și cum ai o balanță perfect echilibrată și vrei să muți greutățile — dacă faci mișcările corecte, balanța rămâne în echilibru. Dacă greșești o mișcare, totul se strică. Și tocmai aceste mișcări corecte — inversarea, alternarea, compunerea — le numim proporții derivate.

Cele trei proporții derivate — inversarea, alternarea și compunerea

Plecăm mereu de la  $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ . Din ea obținem trei proporții noi, fiecare cu logica ei.

Inversarea înseamnă că întorci ambele rapoarte cu susul în jos. Dacă  $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ , atunci  $\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ . Logic, nu? Dacă două fracții sunt egale și le inversezi pe amândouă în același timp, rămân egale. Gândește-te: dacă  $\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$ , atunci și  $\frac{4}{2}=\frac{6}{3}$ . Funcționează.

Alternarea înseamnă că schimbi mijlocii între ei. Din  $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$  obții  $\frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ . Practic,  $b$  și  $c$  își schimbă locul. De ce merge? Pentru că  $a\cdot d=b\cdot c$  rămâne adevărat și după schimbare — verifică singur cu numere concrete.

Compunerea e puțin mai specială. Aduni numărătorul la numitor (sau scazi) și obții o nouă proporție. Uite cele două variante:

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$$

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d}$$

Aceasta din urmă — compunerea prin scădere — e cea care îi încurcă cel mai des pe elevi. Reține: aduni sau scazi numărătorul la numitor, dar numitorul rămâne neschimbat.

Exemplu rezolvat pas cu pas

Greșeli frecvente

Exerciții rezolvate

1. Se dă  $\frac{4}{6}=\frac{8}{12}$ . Scrie proporția obținută prin inversare. (Răspuns:  $\frac{6}{4}=\frac{12}{8}$ )
2. Pornind de la  $\frac{5}{7}=\frac{15}{21}$ , scrie proporția derivată prin alternare și verifică rezultatul. (Răspuns:  $\frac{5}{15}=\frac{7}{21}$ ; verificare:  $5\cdot 21=105$ ,  $15\cdot 7=105$  ✓)
3. Se dă proporția  $\frac{3}{5}=\frac{9}{15}$ . Aplică compunerea prin adunare și prin scădere, apoi verifică ambele proporții obținute. (Răspuns: compunere +:  $\frac{8}{5}=\frac{24}{15}$ ; compunere −:  $\frac{-2}{5}=\frac{-6}{15}$ )

Întrebări frecvente