TEOREMA CELOR TREI PERPENDICULARE: enunț, demonstrații și aplicații - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Teorema celor trei perpendiculare spune că, dacă $A A^{'}$ este perpendiculară pe un plan, o dreaptă din plan este perpendiculară pe proiecția oblicei exact atunci când este perpendiculară pe oblică. Mai jos găsești enunțul, demonstrațiile în ambele sensuri și 8 exerciții rezolvate, de la ușor la greu.

Teorema celor trei perpendiculare

Pornești cu un plan $α$ , un punct $A$ din afara lui și perpendiculara $A A^{'}$ pe $α$ (cu piciorul $A^{'}$ ). Orice altă dreaptă $A C$ , cu $C \in α$ , este oblică față de plan, iar $A^{'} C$ este proiecția ei pe $α$ . Fie $d$ o dreaptă din $α$ care trece prin $C$ .

Dreapta

A A^{'}

este perpendiculară pe planul

α

A^{'} C

este proiecția oblicei

A C

, iar

d

trece prin

C

. Perpendicularitatea lui

d

A^{'} C

și pe

A C

sunt echivalente.

$d ⟂ A^{'} C ⟺$ $d ⟂ A C$

Cu alte cuvinte: perpendicularitatea lui $d$ pe proiecție și perpendicularitatea lui $d$ pe oblică sunt echivalente, atâta timp cât ai perpendiculara $A A^{'}$ pe plan. Din acest motiv apar „cele trei perpendiculare”: $A A^{'} ⟂ α$ , $d ⟂ A^{'} C$ (proiecția) și $d ⟂ A C$ (oblica).

Demonstrația sensului direct ( $d ⟂ A^{'} C ⟹$ $d ⟂ A C$ ): cum $A A^{'} ⟂ α$ și $d \subset α$ , rezultă $A A^{'} ⟂ d$ . Așadar $d$ este perpendiculară pe două drepte concurente în $C$ din planul $(A A^{'} C)$ : pe $A^{'} C$ (ipoteză) și pe $A A^{'}$ (dedus). Deci $d$ este perpendiculară pe tot planul $(A A^{'} C)$ , care conține și dreapta $A C$ , deci $d ⟂ A C$ .

Demonstrația sensului reciproc ( $d ⟂ A C ⟹$ $d ⟂ A^{'} C$ ) urmează același raționament, doar că pornești cu $d ⟂ A C$ și $d ⟂ A A^{'}$ (tot pentru că $A A^{'} ⟂ α$ ), deci $d$ este perpendiculară pe planul $(A A^{'} C)$ , care conține și $A^{'} C$ .

Teorema se folosește cel mai des ca să demonstrezi o perpendicularitate nouă, pe care nu o poți „vedea” direct, apoi să calculezi cu ea o distanță (de la un punct la o dreaptă sau la un plan), folosind teorema lui Pitagora.

Exerciții rezolvate : teorema celor trei perpendiculare

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Elementele teoremeiușor

Fie $A A^{'} ⟂ α$ , cu $A^{'} \in α$ , și $A C$ o dreaptă oblică față de plan, cu $C \in α$ . Precizează care segment este perpendiculara pe plan, care este oblica și care este proiecția oblicei.

Rezolvare pas cu pas

Perpendiculara pe plan este $A A^{'}$ , pentru că este chiar dreapta despre care se spune că e perpendiculară pe $α$ .
Oblica este $A C$ : pleacă din $A$ (care nu e în plan) și ajunge în $C$ (care e în plan), fără să fie perpendiculară pe $α$ .
Proiecția oblicei este $A^{'} C$ : unește piciorul perpendicularei $A^{'}$ cu punctul $C$ , în care oblica atinge planul.

Răspuns: perpendiculara: $A A^{'}$ ; oblica: $A C$ ; proiecția: $A^{'} C$

EXERCIȚIUL 2Sensul direct al teoremeiușor

Fie $A A^{'} ⟂ α$ , cu $A^{'} \in α$ , $A A^{'} = 4$ cm, și dreapta $d \subset α$ , care trece prin $C$ , cu $A^{'} C ⟂ d$ și $A^{'} C = 3$ cm. a) Demonstrează că $A C ⟂ d$ . b) Calculează lungimea oblicei $A C$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Din $A A^{'} ⟂ α$ și $d \subset α$ rezultă $A A^{'} ⟂ d$ . Cum și $A^{'} C ⟂ d$ (dat), $d$ este perpendiculară pe două drepte concurente în $A^{'}$ , din planul $(A A^{'} C)$ .
Deci $d$ este perpendiculară pe tot planul $(A A^{'} C)$ , care conține și dreapta $A C$ : rezultă $A C ⟂ d$ .
b) Triunghiul $A A^{'} C$ este dreptunghic în $A^{'}$ (pentru că $A A^{'} ⟂ α$ , deci $A A^{'} ⟂ A^{'} C$ ): $A C^{2} =$ $A A^{' 2} + A^{'} C^{2} =$ $16 + 9 =$ $25$ .
Rezultă $A C = 5$ cm.

Răspuns: a) $A C ⟂ d$ (demonstrat); b) $A C = 5$ cm

EXERCIȚIUL 3Sensul reciproc al teoremeimediu

Fie $A A^{'} ⟂ α$ , cu $A^{'} \in α$ , $A A^{'} = 5$ cm, și dreapta $d \subset α$ , care trece prin $C$ , cu $A C ⟂ d$ și $A C = 13$ cm. a) Demonstrează că $A^{'} C ⟂ d$ . b) Calculează lungimea proiecției $A^{'} C$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Din $A A^{'} ⟂ α$ și $d \subset α$ rezultă $A A^{'} ⟂ d$ . Cum și $A C ⟂ d$ (dat), $d$ este perpendiculară pe două drepte concurente în $A$ , din planul $(A A^{'} C)$ .
Deci $d$ este perpendiculară pe tot planul $(A A^{'} C)$ , care conține și $A^{'} C$ : rezultă $A^{'} C ⟂ d$ .
b) Triunghiul $A A^{'} C$ este dreptunghic în $A^{'}$ : $A^{'} C^{2} =$ $A C^{2} - A A^{' 2} =$ $169 - 25 =$ $144$ .
Rezultă $A^{'} C = 12$ cm.

Răspuns: a) $A^{'} C ⟂ d$ (demonstrat); b) $A^{'} C = 12$ cm

EXERCIȚIUL 4Diagonalele bazei unui cubmediu

Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are latura de 6 cm și înălțimea $A A^{'} = 7$ cm. a) Demonstrează, folosind teorema celor trei perpendiculare, că $A^{'} C ⟂ B D$ . b) Calculează lungimea diagonalei $A^{'} C$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Proiecția oblicei $A^{'} C$ pe baza $(A B C)$ este $A C$ (pentru că $A^{'}$ se proiectează în $A$ ). În pătratul $A B C D$ , diagonalele sunt perpendiculare: $A C ⟂ B D$ .
Conform teoremei celor trei perpendiculare (sensul direct, cu $d = B D$ ), din $B D ⟂ A C$ (proiecția) rezultă $B D ⟂ A^{'} C$ (oblica).
b) $A C$ , diagonala pătratului, este $6 \sqrt{2}$ cm, deci $A C^{2} = 72$ .
Triunghiul $A A^{'} C$ este dreptunghic în $A$ : $A^{'} C^{2} =$ $A A^{' 2} + A C^{2} =$ $49 + 72 =$ $121$ , deci $A^{'} C = 11$ cm.

Răspuns: a) $A^{'} C ⟂ B D$ (demonstrat); b) $A^{'} C = 11$ cm

EXERCIȚIUL 5Distanța de la centrul bazei la o față lateralămediu

Piramida patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei $A B = 6$ cm și înălțimea $V O = 4$ cm, unde $O$ este centrul bazei, iar $M$ este mijlocul lui $B C$ . Calculează distanța de la $O$ la planul $(V B C)$ .

Rezolvare pas cu pas

Din $O$ duci $O H ⟂ V M$ , cu $H \in V M$ . Cum $B C ⟂ O M$ (apotema bazei) și $B C ⟂ V O$ (înălțimea piramidei e perpendiculară pe bază), rezultă $B C ⟂ (V O M)$ , deci $B C ⟂ O H$ .
$O H ⟂ V M$ și $O H ⟂ B C$ , cu $V M$ și $B C$ concurente în $M$ , deci $O H ⟂ (V B C)$ : distanța cerută este $O H$ .
Apotema bazei: $O M =$ $\frac{A B}{2} =$ $3$ cm. Triunghiul $V O M$ este dreptunghic în $O$ : $V M^{2} = 16 + 9 = 25$ , deci $V M = 5$ cm.
În triunghiul dreptunghic $V O M$ , $O H$ este înălțimea din unghiul drept: $O H =$ $\frac{V O \cdot O M}{V M} =$ $\frac{4 \cdot 3}{5} =$ $2,4$ cm.

Răspuns: $d (O, (V B C)) = 2,4$ cm

EXERCIȚIUL 6Distanța de la un vârf de sus la o diagonalăgreu

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 15$ cm, $B C = 20$ cm și $A A^{'} = 9$ cm. Fie $E$ piciorul perpendicularei din $D$ pe diagonala $A C$ . Calculează distanța de la $D^{'}$ la dreapta $A C$ .

Rezolvare pas cu pas

În triunghiul $A D C$ , dreptunghic în $D$ : $A C^{2} =$ $15^{2} + 20^{2} =$ $225 + 400 =$ $625$ , deci $A C = 25$ cm.
$D E$ , înălțimea din unghiul drept: $D E =$ $\frac{A D \cdot D C}{A C} =$ $\frac{15 \cdot 20}{25} =$ $12$ cm. Aici $D E$ este proiecția lui $D^{'} E$ pe planul bazei, iar $D E ⟂ A C$ .
Conform teoremei celor trei perpendiculare (sensul direct, cu $d = A C$ ), din $D E ⟂ A C$ rezultă $D^{'} E ⟂ A C$ : distanța cerută este $D^{'} E$ .
Triunghiul $D^{'} D E$ este dreptunghic în $D$ ( $D D^{'} ⟂$ baza, deci $D D^{'} ⟂ D E$ ): $D^{'} E^{2} =$ $D D^{' 2} + D E^{2} =$ $81 + 144 =$ $225$ , deci $D^{'} E = 15$ cm.

Răspuns: $d (D^{'}, A C) = 15$ cm

EXERCIȚIUL 7Din altă poziție a piciorului perpendiculareigreu

Paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are $A B = 6$ cm, $B C = 8$ cm și $A A^{'} = 3,6$ cm. Fie $E$ piciorul perpendicularei din $B$ pe diagonala $A C$ . Calculează distanța de la $B^{'}$ la dreapta $A C$ .

Rezolvare pas cu pas

În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $B$ : $A C^{2} = 36 + 64 = 100$ , deci $A C = 10$ cm.
$B E$ , înălțimea din unghiul drept: $B E =$ $\frac{A B \cdot B C}{A C} =$ $\frac{6 \cdot 8}{10} =$ $4,8$ cm, cu $B E ⟂ A C$ .
Conform teoremei celor trei perpendiculare, din $B E ⟂ A C$ (proiecția lui $B^{'} E$ pe bază) rezultă $B^{'} E ⟂ A C$ : distanța cerută este $B^{'} E$ .
Triunghiul $B^{'} B E$ este dreptunghic în $B$ : $B^{'} E^{2} =$ $B B^{' 2} + B E^{2} =$ ${3,6}^{2} + {4,8}^{2} =$ $12,96 + 23,04 =$ $36$ , deci $B^{'} E = 6$ cm.

Răspuns: $d (B^{'}, A C) = 6$ cm

EXERCIȚIUL 8Tip Evaluare Naționalăgreu

Cutia $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are baza $A B C D$ un pătrat cu latura de 4 cm și înălțimea $A A^{'} = 7$ cm. a) Demonstrează, folosind teorema celor trei perpendiculare, că $A C^{'} ⟂ B D$ . b) Calculează lungimea diagonalei $A C^{'}$ . c) Calculează volumul cutiei.

Rezolvare pas cu pas

a) Proiecția oblicei $A C^{'}$ pe baza $(A B C)$ este $A C$ (pentru că $A$ e deja în plan și $C^{'}$ se proiectează în $C$ ). În pătratul $A B C D$ , diagonalele sunt perpendiculare: $A C ⟂ B D$ .
Conform teoremei celor trei perpendiculare (sensul direct, cu $d = B D$ ), din $B D ⟂ A C$ rezultă $B D ⟂ A C^{'}$ .
b) $A C = 4 \sqrt{2}$ cm, deci $A C^{2} = 32$ . Triunghiul $A C C^{'}$ este dreptunghic în $C$ (pentru că $C C^{'} ⟂$ bază): $A C^{' 2} =$ $A C^{2} + C C^{' 2} =$ $32 + 49 =$ $81$ , deci $A C^{'} = 9$ cm.
c) Volumul: $V =$ $A_{b} \cdot h =$ $4^{2} \cdot 7 =$ $16 \cdot 7 =$ $112$ cm³.

Răspuns: a) $A C^{'} ⟂ B D$ (demonstrat); b) $A C^{'} = 9$ cm; c) $V = 112$ cm³

Cum recunoști un exercițiu cu teorema celor trei perpendiculare

Enunțul dă o perpendiculară pe un plan și îți cere să demonstrezi o nouă perpendicularitate, între o dreaptă din plan și o oblică (sau proiecția ei).
Ți se cere o distanță de la un punct la o dreaptă sau la un plan: construiești mai întâi perpendiculara cu ajutorul teoremei, apoi calculezi cu Pitagora.
Vezi un corp geometric (cub, paralelipiped, piramidă) cu o muchie sau înălțime perpendiculară pe bază: teorema leagă acea perpendiculară de o diagonală sau de o linie construită în bază.

Greșeli frecvente la teorema celor trei perpendiculare

Aplici teorema fără să verifici mai întâi că ai o perpendiculară pe plan. Teorema funcționează doar dacă $A A^{'} ⟂ α$ este deja stabilită (dată sau demonstrată). Primul pas dintr-o rezolvare este mereu identificarea sau demonstrarea acestei perpendiculare.
Confunzi proiecția oblicei cu piciorul perpendicularei. Proiecția oblicei $A C$ pe plan este segmentul $A^{'} C$ , nu doar punctul $A^{'}$ . $A^{'}$ este piciorul perpendicularei din $A$ ; $C$ e deja în plan.
Uiți care e proiecția și încerci să aplici Pitagora greșit. În triunghiul dreptunghic $A A^{'} C$ , unghiul drept e mereu în $A^{'}$ (piciorul perpendicularei), deci $A C$ e ipotenuza, iar $A A^{'}$ și $A^{'} C$ sunt catetele.

Exersează : teorema celor trei perpendiculare

Fișă de lucru: Teorema celor trei perpendiculare, clasa a VIII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Geometrie în spațiu, clasa a VIII-acu barem (PDF) Fișă de lucru: Distanțe și măsuri de unghiuri în corpuri geometricePDF de printat, clasa a VIII-a

Din același capitol

Întrebări frecvente despre teorema celor trei perpendiculare

Care este enunțul teoremei celor trei perpendiculare?

Dacă $A A^{'} ⟂ α$ , $A C$ e oblică pe $α$ , cu proiecția $A^{'} C$ , și $d \subset α$ trece prin $C$ , atunci $d ⟂ A^{'} C ⟺$ $d ⟂ A C$ .

La ce folosește practic teorema?

Cel mai des, ca să demonstrezi o perpendicularitate pe care n-o poți „vedea” direct, apoi să calculezi cu ea o distanță de la un punct la o dreaptă sau la un plan, cu teorema lui Pitagora.

Teorema merge și invers, de la oblică spre proiecție?

Da. Cele două sensuri sunt echivalente: $d ⟂ A^{'} C ⟺$ $d ⟂ A C$ , atâta timp cât $A A^{'} ⟂ α$ este adevărat.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 56. Teorema celor trei perpendiculare..

Exersează cu fișa de lucru: Teorema celor trei perpendiculare — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care este enunțul corect al teoremei celor trei perpendiculare?
2. În teorema celor trei perpendiculare, cele trei perpendiculare sunt: dreapta $d_{1}$ , proiecția ei $d^{'}$ și:
3. Fie planul $α$ , dreapta $A B$ cu proiecția $A B^{'}$ pe $α$ . Dacă $C D ⟂ A B^{'}$ și $C D \subset α$ , atunci:
4. Care este reciproca teoremei celor trei perpendiculare?
5. Un punct $A$ este la înălțimea $h = 3$ cm deasupra planului $α$ . Proiecția lui $A$ pe $α$ este $A^{'}$ . Dacă $A^{'} B = 4$ cm, cât este $A B$ ?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 8 iulie 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

UNGHIUL DINTRE O DREAPTĂ ȘI UN PLAN: proiecție și calcul - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

UNGHI DIEDRU în cub, paralelipiped și piramidă - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 3: Elemente fundamentale ale geometriei in spatiu.

FUNCȚIA MATEMATICĂ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

GRAFICUL UNEI FUNCȚII și punctele de pe grafic - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

FUNCȚIA LINIARĂ f(x) = ax + b, graficul și rolul lui a și b - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

INTERSECȚIA GRAFICELOR A DOUĂ FUNCȚII și intersecția cu axele - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VIII-a)

Capitolul 4: Funcții

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună