de Echipa Școala Virtuală8 iulie 2026

Teorema celor trei perpendiculare — definiție, proprietăți

Q: Teorema asta e valabilă și invers?

Da, și asta e frumos. Dacă d⟂AB (perpendiculară pe oblică), atunci d⟂A′B (perpendiculară pe proiecție). Adică merge în ambele sensuri — teorema e o echivalență, nu doar o implicație. Înseamnă că poți demonstra perpendicularitatea pe oblică demonstrând-o pe proiecție, și invers. Foarte util în exerciții.

Ai ajuns vreodată la un exercițiu cu o piramidă sau un corp geometric și pur și simplu nu știai cum să tragi o perpendiculară din punctul ăla suspendat în aer pe un plan? Nu știai nici de unde să începi, nici ce legătură are cu ce e deja desenat. Ei bine, exact asta rezolvă teorema celor trei perpendiculare — îți dă o metodă clară să lucrezi cu perpendiculare în spațiu, folosind ce știi deja din plan. Sună tehnic, știu. Dar de fapt e una dintre acele teoreme pe care, odată ce le înțelegi cu adevărat, le vezi peste tot: în piramide, prisme, orice corp cu fețe înclinate. Hai să o luăm de la zero, fără grabă.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă perpendiculara unei drepte pe un plan și cum o recunoști
Vei ști să formulezi corect teorema celor trei perpendiculare, direct și cu sens
Vei putea aplica teorema în exerciții cu piramide și prisme din programa de clasa 8
Vei știi care sunt greșelile tipice și cum să le eviți înainte să le faci

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Mai întâi, ce înseamnă că o dreaptă e perpendiculară pe un plan?

Imaginează-ți că ții un creion perfect vertical deasupra mesei. Creionul e perpendicular pe masă — adică e drept față de orice linie ai trasa pe suprafața mesei. Nu față de una, față de toate. Asta e definiția: o dreaptă este perpendiculară pe un plan dacă este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan care trece prin piciorul ei. Piciorul e punctul unde dreapta atinge planul. În exerciții, adesea nu știi direct că o dreaptă e perpendiculară pe plan — trebuie să demonstrezi asta. Și pentru asta există o teoremă mai simplă: dacă o dreaptă e perpendiculară pe două drepte distincte din plan care se intersectează, atunci e perpendiculară pe întreg planul. Asta e fundația pe care stă totul ce urmează.

💡 Regula de bază

O dreaptă $d$ este perpendiculară pe planul $α$ dacă este perpendiculară pe două drepte concurente din $α$ . Notăm: $d ⟂ α$ . Piciorul perpendicularei este punctul $O = d \cap α$ .

Acum, teorema celor trei perpendiculare — cum gândesc eu ea

Okay, să zicem că ai o dreaptă oblică față de un plan — adică nu cade perfect vertical, ci e înclinată. Are o proiecție pe plan: umbra ei, dacă vrei. Teorema celor trei perpendiculare spune ceva elegant despre relația dintre oblică, proiecția ei și o a treia dreaptă din plan. Hai să o formulez direct, fără artificii. Ai un plan $α$ , o perpendiculară $A A^{'}$ pe planul acela cu piciorul $A^{'}$ , și o dreaptă oblică $A B$ — unde $B$ e pe plan. Proiecția oblicei pe plan este $A^{'} B$ . Acum: dacă dreapta $d$ din plan este perpendiculară pe proiecție $A^{'} B$ , atunci $d$ este perpendiculară și pe oblică $A B$ . Și invers: dacă $d ⟂ A B$ , atunci $d ⟂ A^{'} B$ . Cele trei perpendiculare sunt: perpendiculara pe plan $(A A^{'})$ , proiecția $(A^{'} B)$ și dreapta $d$ din plan. De-aia se cheamă „teorema celor trei perpendiculare".

💡 Regula de bază

Fie $A A^{'} ⟂ α$ , $A B$ oblică pe $α$ , cu $A^{'} B$ proiecția ei pe $α$ , și $d \subset α$ o dreaptă. Atunci: $d ⟂ A^{'} B \Leftrightarrow d ⟂ A B$ . Practic, perpendicularitatea pe oblică și pe proiecția ei sunt echivalente, atâta timp cât ai perpendiculara pe plan.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Fie piramida regulată $V A B C D$ cu baza pătrat $A B C D$ și vârful $V$ . Știm că $V A = 6$ cm și $A B = 4 \sqrt{2}$ cm. Notăm cu $O$ centrul bazei. Demonstrați că $V O ⟂$ planului bazei și calculați lungimea $V O$ .

🔢 Rezolvare

Diagonala bazei: A C = A B \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8 cm

O A = \frac{A C}{2} = \frac{8}{2} = 4 cm

Piramidă regulată \Rightarrow V O ⟂ O A și V O ⟂ O B \Rightarrow V O ⟂ plan (A B C D)

V O = \sqrt{V A^{2} - O A^{2}} = \sqrt{6^{2} - 4^{2}} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5} cm

✅ Explicație

La o piramidă regulată, vârful se află exact deasupra centrului bazei — asta e definiția. Deci $V O$ e perpendiculară pe orice dreaptă din bază care trece prin $O$ . Concluzionăm că $V O ⟂$ planul bazei, și apoi aplicăm pur și simplu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $V O A$ pentru a găsi înălțimea.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Elevii confundă proiecția oblicei cu piciorul perpendicularei. Scriu că proiecția lui $A B$ pe plan este chiar $B$ , fără să arate că $A^{'}$ (piciorul) e diferit de $B$ .

✅ Corect: Proiecția oblicei $A B$ pe plan este segmentul $A^{'} B$ , unde $A^{'}$ e piciorul perpendicularei duse din $A$ pe plan. $B$ e deja pe plan, deci rămâne fix. Proiecția nu e un punct — e un segment.

❌ Greșeala #2: Se aplică teorema celor trei perpendiculare fără a verifica mai întâi că există o perpendiculară pe plan. Mulți sar direct la „deci $d ⟂ A B$ " fără să arate că $A A^{'} ⟂ α$ .

✅ Corect: Teorema funcționează doar dacă ai sigur o dreaptă perpendiculară pe plan. Primul pas dintr-o rezolvare e întotdeauna să identifici sau să demonstrezi perpendiculara pe plan — abia după aplici teorema.

Exerciții rezolvate

Fie $A A^{'} ⟂ α$ cu $A^{'} \in α$ , și dreapta $d \subset α$ astfel încât $d ⟂ A^{'} B$ , unde $B \in α$ . Demonstrați că $d ⟂ A B$ . (Răspuns: direct din enunțul teoremei celor trei perpendiculare, sensul direct)
Într-o piramidă regulată triunghiulară $V A B C$ cu $A B = 6$ cm și $V A = 6 \sqrt{3}$ cm, notăm $O$ centrul bazei. Calculați înălțimea $V O$ . (Răspuns: $O A = 2 \sqrt{3}$ cm, $V O = \sqrt{108 - 12} = \sqrt{96} = 4 \sqrt{6}$ cm)
Fie cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu muchia $a = 5$ cm. Demonstrați că diagonala $A^{'} C$ este perpendiculară pe dreapta $B D$ și calculați distanța de la $B$ la dreapta $A^{'} C$ . (Răspuns: Se arată $B D ⟂ A^{'} C$ prin teorema celor trei perpendiculare; distanța $= \frac{5 \sqrt{6}}{3}$ cm)

Întrebări frecvente

De ce se numește „a celor trei perpendiculare" și nu „a două"?

Pentru că sunt exact trei drepte implicate: perpendiculara pe plan $(A A^{'})$ , proiecția oblicei pe plan $(A^{'} B)$ și dreapta din plan $(d)$ . Toate trei sunt perpendiculare între ele în sensul descris de teoremă. Dacă ar fi doar două, ar fi o simplă proprietate de perpendicularitate obișnuită — a treia e cea care face legătura dintre spațiu și plan.

Teorema asta e valabilă și invers?

Da, și asta e frumos. Dacă $d ⟂ A B$ (perpendiculară pe oblică), atunci $d ⟂ A^{'} B$ (perpendiculară pe proiecție). Adică merge în ambele sensuri — teorema e o echivalență, nu doar o implicație. Înseamnă că poți demonstra perpendicularitatea pe oblică demonstrând-o pe proiecție, și invers. Foarte util în exerciții.

Cum știu când să aplic teorema celor trei perpendiculare și când altceva?

O recunoști când ai o dreaptă oblică față de un plan și vrei să arăți că o altă dreaptă din plan îi este perpendiculară. Sau invers. Dacă există o perpendiculară pe plan în problemă — și de obicei există, e fie înălțimea piramidei, fie o muchie a cubului — aproape sigur teorema celor trei perpendiculare e instrumentul potrivit.

Articole recente

Circumstanțialul de cauză — când să-l recunoști și cum

9 iulie 2026

Subiectul — definiție, cum îl recunoști și greșeli frecvente

8 iulie 2026

Circumstanțialul de mod — cum îl recunoști

7 iulie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună