23 mai 2026

Triunghiuri asemenea — definiție, proprietăți și exemple

Ai desenat vreodată un triunghi mai mic și unul mai mare care arătau exact la fel, doar că de mărimi diferite? Asta-i ideea din spatele triunghiurilor asemenea. Probabil ai văzut deja conceptul în culegere și ai dat din cap a nedumerire — cum știu eu că două triunghiuri sunt asemenea și nu doar… asemănătoare la față? E o confuzie pe care o face toată lumea la început, și e perfect normal. Triunghiurile asemenea nu înseamnă că arată un pic la fel. Înseamnă ceva precis, cu reguli clare. Practic, vorbim despre triunghiuri care au aceleași unghiuri și ale căror laturi sunt proporționale — adică se „scalează” perfect unul față de altul, ca o fotografie mărită sau micșorată. Asta-i tot. Hai să vedem exact ce înseamnă asta și cum rezolvi orice exercițiu de tipul ăsta.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă cu adevărat că două triunghiuri sunt asemenea
Vei ști să recunoști criteriile de asemănare (UU, LUL, LLL) și când le aplici
Vei ști să calculezi lungimi necunoscute folosind raportul de asemănare
Vei evita cele mai frecvente greșeli care apar la exercițiile cu triunghiuri asemenea

Ce sunt triunghiurile asemenea — și de ce contează

Imaginează-ți că ai o poză pe telefon și o mărești pe tot ecranul. Forma rămâne identică — doar dimensiunea se schimbă. Exact asta se întâmplă cu triunghiurile asemenea. Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile egale două câte două și dacă laturile corespunzătoare sunt proporționale. Nu trebuie amândouă condițiile în același timp — e suficient să verifici una dintre ele, că o implică automat și pe cealaltă. De fapt, asta e și partea frumoasă: nu trebuie să măsori toate cele șase elemente. Sunt trei criterii scurte care îți spun dacă două triunghiuri sunt asemenea, și când știi criteriul, rezolvi problema rapid. Triunghiurile asemenea apar peste tot — în arhitectură, în hărți, în calculul înălțimilor unor obiecte pe care nu le poți măsura direct. Nu e matematică de dragul matematicii.

💡 Regula de bază

Două triunghiuri sunt asemenea dacă unghiurile lor corespunzătoare sunt egale și laturile corespunzătoare sunt proporționale. Dacă $△ A B C \sim △ D E F$ , atunci $\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{A C}{D F} = k$ , unde $k$ se numește raportul de asemănare.

Cele trei criterii de asemănare

Nu trebuie să verifici tot pentru a demonstra că două triunghiuri sunt asemenea. Există trei criterii și îți trebuie unul singur. Primul se numește UU (Unghi-Unghi): dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt egale cu două unghiuri ale celuilalt, gata — sunt asemenea. Al doilea este LUL (Latură-Unghi-Latură): dacă un unghi e egal și laturile care îl formează sunt proporționale, criteriul e îndeplinit. Al treilea e LLL (Latură-Latură-Latură): dacă toate cele trei perechi de laturi sunt proporționale, triunghiurile sunt asemenea. Practic, UU e cel mai des folosit la exerciții. Motivul e simplu — dacă știi două unghiuri egale, al treilea rezultă automat, fiindcă suma unghiurilor în orice triunghi e mereu $180 °$ .

💡 Regula de bază

Criteriul UU: Dacă $∠ A = ∠ D$ și $∠ B = ∠ E$ , atunci $△ A B C \sim △ D E F$ . Nu mai trebuie să verifici și al treilea unghi — rezultă singur din $∠ A + ∠ B + ∠ C = 180 °$ .

Raportul de asemănare — cum îl găsești și ce faci cu el

Odată ce știi că două triunghiuri sunt asemenea, raportul de asemănare $k$ îți spune de câte ori e mai mare (sau mai mic) un triunghi față de celălalt. Dacă $k = 2$ , înseamnă că fiecare latură din primul triunghi e de două ori mai mare decât latura corespunzătoare din al doilea. Uite cum găsești $k$ : împarți o latură cunoscută din primul triunghi la latura corespunzătoare din al doilea. Și gata. Apoi, dacă ai o latură necunoscută, o calculezi din proporție. De fapt, asta e tot exercițiul în 90% din cazuri — demonstrezi asemănarea, găsești $k$ , calculezi ce ți se cere. Ariile triunghiurilor asemenea au și ele o relație: dacă raportul de asemănare e $k$ , raportul ariilor e $k^{2}$ . Asta apare des la exercițiile mai grele.

💡 Regula de bază

Dacă $△ A B C \sim △ D E F$ cu raportul de asemănare $k$ , atunci $\frac{𝒜_{A B C}}{𝒜_{D E F}} = k^{2}$ . Dacă laturile sunt de două ori mai mari, aria e de patru ori mai mare — nu de două ori. Mulți uită asta.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Triunghiurile $A B C$ și $D E F$ sunt asemenea ( $△ A B C \sim △ D E F$ ). Se știe că $A B = 6$ cm, $B C = 9$ cm, $A C = 12$ cm și $D E = 4$ cm. Calculează lungimile $E F$ și $D F$ .

🔢 Rezolvare

$k = \frac{A B}{D E} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
$E F = \frac{B C}{k} = \frac{9}{\frac{3}{2}} = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6 cm$
$D F = \frac{A C}{k} = \frac{12}{\frac{3}{2}} = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8 cm$
$Răspuns: E F = 6 cm, D F = 8 cm$

✅ Explicație

Primul pas e mereu să găsești raportul de asemănare $k$ dintr-o pereche de laturi cunoscute. Odată ce ai $k = \frac{3}{2}$ , știi că triunghiul $A B C$ e de $\frac{3}{2}$ ori mai mare decât $D E F$ . Deci laturile lui $D E F$ se obțin împărțind laturile lui $A B C$ la $k$ — adică înmulțind cu inversul. Atenție la ordinea triunghiurilor: $A B$ corespunde lui $D E$ , nu lui $E F$ .

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Asociezi greșit laturile corespunzătoare. Adică pui $A B$ în raport cu $E F$ în loc de $D E$ , fiindcă nu te-ai uitat la ordinea literelor din notația asemănării.

✅ Corect: Când scrii $△ A B C \sim △ D E F$ , ordinea literelor îți spune totul: $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ . Deci $A B \leftrightarrow D E$ , $B C \leftrightarrow E F$ , $A C \leftrightarrow D F$ . Urmărește mereu ordinea.

❌ Greșeala #2: Când se cere raportul ariilor, elevii răspund direct cu $k$ în loc de $k^{2}$ . De exemplu, dacă $k = 3$ , spun că aria e de 3 ori mai mare.

✅ Corect: Raportul ariilor e întotdeauna $k^{2}$ . Dacă $k = 3$ , aria primului triunghi e de $3^{2} = 9$ ori mai mare decât a celui de-al doilea. Laturile cresc liniar, ariile cresc pătratic.

Exerciții rezolvate

Triunghiurile $M N P$ și $X Y Z$ sunt asemenea cu raportul $k = \frac{1}{3}$ . Dacă $M N = 15$ cm, află lungimea laturii corespunzătoare $X Y$ . (Răspuns: $X Y = 5$ cm)
Triunghiurile $A B C$ și $D E F$ sunt asemenea, $A B = 8$ cm, $D E = 12$ cm. Aria triunghiului $A B C$ este $24$ cm². Calculează aria triunghiului $D E F$ . (Răspuns: $54$ cm²)
În triunghiul $A B C$ , $D$ este mijlocul lui $A B$ și $E$ este mijlocul lui $A C$ . Demonstrează că $△ A D E \sim △ A B C$ și găsește raportul de asemănare, știind că $A D = 5$ cm și $A B = 10$ cm. (Răspuns: $k = \frac{1}{2}$ , prin criteriul UU — unghi comun în $A$ și unghiuri egale din paralelismul $D E ∥ B C$ )

Întrebări frecvente

Triunghiurile congruente și cele asemenea sunt același lucru?

Nu, și asta e o confuzie clasică. Triunghiurile congruente sunt identice — aceleași laturi, aceleași unghiuri, aceeași mărime. Triunghiurile asemenea au aceleași unghiuri și laturi proporționale, dar pot fi de mărimi diferite. Practic, orice triunghiuri congruente sunt și asemenea (cu $k = 1$ ), dar nu invers.

Cum știu care unghi corespunde căruia, dacă nu e scris în enunț?

Te uiți la unghiurile egale din figură sau din datele problemei. Unghiul cel mai mic dintr-un triunghi corespunde unghiului cel mai mic din celălalt, cel mai mare cu cel mai mare. Dacă ai figura desenată, e și mai simplu — urmărești poziția unghiurilor și laturile opuse lor.

De ce la arii înmulțesc cu k² și nu cu k?

Fiindcă aria se calculează cu două dimensiuni — bază și înălțime — și ambele se înmulțesc cu $k$ . Deci aria se înmulțește cu $k \cdot k = k^{2}$ . Gândește-te la un pătrat cu latura 2: aria e 4. Dacă dublezi latura la 4, aria devine 16 — adică de $4 = 2^{2}$ ori mai mare, nu de două ori.

cu Alexandra Pavel

Vrei să înveți cu lecții video?

Sute de lecții video la matematică și română pentru clasele 5–8, structurate pe capitole.

Abonează-te — prima lună 5 lei

Articole recente

Gradele de comparație ale adjectivului — Greșeli frecvente

14 iunie 2026

Pronumele personal de politețe — când se folosește

13 iunie 2026

Ecuații în mulțimea numerelor întregi — greșeli frecvente

13 iunie 2026