Close-up of a wooden ruler on paper, ideal for educational themes and measuring concepts.

de Echipa Școala Virtuală28 august 2026

Construcția triunghiurilor: metode, exemple și greșeli

Q: Pot construi un triunghi dacă suma a două laturi e egală cu a treia?

Nu. Dacă a+b=c , cele trei puncte sunt coliniare — adică stau pe o dreaptă. Nu se formează nicio figură închisă, niciun triunghi. Condiția de existență cere strict mai mare, nu mai mare sau egal. E o diferență mică, dar importantă.

Ai în față un exercițiu în care ți se dau trei lungimi și trebuie să construiești un triunghi. Pari sigur pe tine — tragi linii, faci unghiuri — și la final obții ceva care arată ca un triunghi, dar nu e cel cerut. Se întâmplă asta des la construcția triunghiurilor, și nu pentru că ești neatent. Ci pentru că nimeni nu ți-a explicat ordinea în care gândești înainte să pui compasul pe foaie. Construcția nu e desen liber. E o procedură — cu pași clari, cu instrumente precise, cu condiții pe care trebuie să le verifici înainte să începi. Și odată ce înțelegi logica din spatele fiecărui pas, totul devine mult mai simplu decât pare la prima vedere.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce condiție trebuie îndeplinită înainte să construiești orice triunghi
Vei ști să construiești un triunghi când cunoști toate cele trei laturi
Vei ști să construiești un triunghi când cunoști două laturi și unghiul dintre ele
Vei recunoaște greșelile tipice care strică construcția și cum le eviți

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Condiția de existență — pasul pe care toată lumea îl sare

Înainte să desenezi orice, trebuie să verifici dacă triunghiul chiar există. Nu orice trei lungimi formează un triunghi. Să zicem că ai segmentele de 2 cm, 3 cm și 10 cm. Poți construi un triunghi cu ele? Nu. Niciodată. Și asta nu e o opinie — e o regulă geometrică fixă. Gândește-te la un triunghi ca la trei bețe pe care le lipești la capete. Dacă un băț e mult prea lung față de celelalte două, pur și simplu nu se mai „închide" figura. De-aia există condiția de existență — ca să nu pierzi timp construind ceva imposibil. Practic, o verificare rapidă de 30 de secunde îți salvează toată rezolvarea.

💡 Regula de bază

Un triunghi cu laturile $a$ , $b$ , $c$ există dacă și numai dacă suma oricăror două laturi este mai mare decât a treia. Adică trebuie să fie îndeplinite simultan: $a + b > c$ , $a + c > b$ și $b + c > a$ . Dacă măcar una dintre inegalități nu e respectată, triunghiul nu există și nu poți face construcția.

Cum construiești un triunghi cunoscând cele trei laturi (cazul LLL)

Acesta e primul caz pe care îl înveți și, odată stăpânit, îți deschide tot restul. Ai trei lungimi date — să zicem $a$ , $b$ , $c$ — și vrei să obții triunghiul $A B C$ . Uite cum gândesc eu asta: o latură o trasezi direct cu rigla, e baza ta. Celelalte două laturi sunt practic distanțele de la capetele bazei până la al treilea vârf. Adică folosești compasul de două ori — câte o dată din fiecare capăt al bazei — și punctul în care cele două arce se intersectează e exact vârful căutat. Compasul nu e un accesoriu opțional aici. E singurul instrument care poate măsura o distanță și o „plasa" pe foaie cu precizie. Rigla singură nu poate face asta.

💡 Pașii construcției LLL

1. Trasezi segmentul $B C = a$ cu rigla.
2. Din $B$ trasezi un arc de cerc cu raza $c$ (cu compasul deschis la $c$ ).
3. Din $C$ trasezi un arc de cerc cu raza $b$ .
4. Intersecția celor două arce este vârful $A$ .
5. Unești $A$ cu $B$ și $A$ cu $C$ — gata, ai triunghiul $A B C$ .

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Construiește triunghiul $A B C$ cu $A B = 5$ cm, $B C = 4$ cm și $A C = 3$ cm. Verifică mai întâi dacă triunghiul există.

🔢 Rezolvare

Pasul 1 — Verificăm condiția de existență:

A B + B C = 5 + 4 = 9 > 3 = A C ✓

A B + A C = 5 + 3 = 8 > 4 = B C ✓

B C + A C = 4 + 3 = 7 > 5 = A B ✓

Pasul 2 — Construcția propriu-zisă:

Trasăm segmentul B C = 4 cm

Din B, arc de cerc cu raza A B = 5 cm

Din C, arc de cerc cu raza A C = 3 cm

Intersecția arcelor = vârful A \Rightarrow unim A cu B și A cu C

✅ Explicație

Primul pas — verificarea — nu e opțional. Dacă sar peste el și laturile nu formează triunghi, toată construcția e invalidă. Al doilea lucru important: compasul se deschide exact la lungimea laturii dorite, nu aproximativ. Câțiva milimetri diferență și arcele fie nu se intersectează, fie dau un punct greșit. Precizia contează mai mult decât viteza.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Sar peste verificarea condiției de existență și încerc să construiesc direct. Arcele nu se intersectează și nu înțeleg de ce.

✅ Corect: Întotdeauna verific prima dată că suma oricăror două laturi e mai mare decât a treia. Dacă nu e, scriu că triunghiul nu există și m-am terminat — nu e o greșeală a mea, e o imposibilitate geometrică.

❌ Greșeala #2: Trasez ambele arce din același punct, în loc de puncte diferite. Sau deschid compasul la o valoare greșită — confund latura $b$ cu $c$ și le inversez.

✅ Corect: Din fiecare capăt al bazei trasez câte un arc, cu raza egală cu latura corespunzătoare acelui vârf. Scriu clar lângă fiecare arc ce latură reprezintă, ca să nu mă încurc.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Verifică dacă se poate construi un triunghi cu laturile $3$ cm, $4$ cm și $6$ cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas

3 + 4 = 7 > 6 ✓

3 + 6 = 9 > 4 ✓

4 + 6 = 10 > 3 ✓

Toate cele trei inegalități sunt respectate, deci triunghiul există și poate fi construit. E cel mai simplu tip de verificare — faci trei adunări și compari cu a treia latură de fiecare dată.

Răspuns: Triunghiul există — toate condițiile sunt îndeplinite.

Exercițiul 2. Verifică dacă se poate construi un triunghi cu laturile $2$ cm, $3$ cm și $7$ cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas

2 + 3 = 5 ≯ 7 ✗

Prima inegalitate e deja falsă. Suma celor două laturi mai mici este 5, dar a treia latură este 7. De îndată ce o condiție nu e respectată, mă opresc — triunghiul nu există. Nu mai are rost să verific celelalte două.

Răspuns: Triunghiul nu există.

Exercițiul 3. Construiește triunghiul $M N P$ cu $M N = 6$ cm, $N P = 5$ cm și $M P = 4$ cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas

6 + 5 = 11 > 4 ✓

6 + 4 = 10 > 5 ✓

5 + 4 = 9 > 6 ✓

Trasăm baza M N = 6 cm

Din M, arc cu raza M P = 4 cm

Din N, arc cu raza N P = 5 cm

Intersecția arcelor = P \Rightarrow unim P cu M și P cu N

Am ales $M N$ ca bază pentru că e cea mai lungă latură — e mai ușor să lucrezi cu baza cea mai stabilă. Din fiecare capăt al bazei, raza compasului este exact latura care leagă acel capăt de vârful $P$ .

Răspuns: Triunghiul $M N P$ cu laturile 6 cm, 5 cm și 4 cm a fost construit.

Exercițiul 4. Construiește triunghiul isoscel $A B C$ cu $A B = A C = 5$ cm și $B C = 6$ cm.

Vezi rezolvarea pas cu pas

5 + 5 = 10 > 6 ✓

5 + 6 = 11 > 5 ✓

Trasăm baza B C = 6 cm

Din B, arc cu raza A B = 5 cm

Din C, arc cu raza A C = 5 cm

Intersecția arcelor = A \Rightarrow unim A cu B și A cu C

La triunghiul isoscel, ambele arce au aceeași rază — deschid compasul o singură dată la 5 cm și îl folosesc de două ori. Vârful $A$ va fi exact pe mediatoarea segmentului $B C$ , ceea ce e și un bun mod de a verifica dacă ai construit corect.

Răspuns: Triunghiul isoscel $A B C$ cu $A B = A C = 5$ cm și $B C = 6$ cm a fost construit.

Exercițiul 5. Provocare: Se dau trei segmente cu lungimile $x$ , $x + 2$ și $2 x - 1$ , unde $x$ este un număr natural. Găsește cea mai mică valoare a lui $x$ pentru care cele trei segmente pot forma un triunghi.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Condiția critică: suma celor două laturi mai mici > latura cea mai mare

Observăm că latura 2 x - 1 devine cea mai mare pentru x \geq 3

Verificăm condiția: x + (x + 2) > 2 x - 1

2 x + 2 > 2 x - 1

2 > - 1 ✓ (adevărat pentru orice x)

Verificăm și: x + (2 x - 1) > x + 2 \Rightarrow 3 x - 1 > x + 2 \Rightarrow 2 x > 3 \Rightarrow x > 1,5

Deci cel mai mic x natural cu x > 1,5 este x = 2

Verificare pentru x = 2 : laturile sunt 2 cm, 4 cm, 3 cm

2 + 3 = 5 > 4 ✓ 2 + 4 = 6 > 3 ✓ 3 + 4 = 7 > 2 ✓

Asta e frumusețea condiției de existență — se poate aplica și când laturile conțin necunoscute. Rezolvi o inecuație simplă și găsești valorile pentru care triunghiul există. Nu e complicat, dar trebuie să știi ce cauți.

Răspuns: Cea mai mică valoare este $x = 2$ , care dă triunghiul cu laturile 2 cm, 4 cm și 3 cm.

Întrebări frecvente

Trebuie să verific toate cele trei inegalități sau e suficientă una?

Trebuie verificate toate trei, dar există un truc: dacă suma celor două laturi mai mici este mai mare decât cea mai mare latură, celelalte două condiții sunt automat îndeplinite. Practic, identifici latura cea mai lungă și verifici dacă suma celorlalte două o depășește. Dacă da, triunghiul există — și economisești timp.

Pot construi un triunghi dacă suma a două laturi e egală cu a treia?

Nu. Dacă $a + b = c$ , cele trei puncte sunt coliniare — adică stau pe o dreaptă. Nu se formează nicio figură închisă, niciun triunghi. Condiția de existență cere strict mai mare, nu mai mare sau egal. E o diferență mică, dar importantă.

De ce trebuie neapărat compasul? Nu pot folosi doar rigla?

Cu rigla poți trasa segmente și măsura lungimi pe o dreaptă deja trasată. Dar nu poți "transporta" o lungime dintr-un punct în orice direcție. Compasul face exact asta: trasează toate punctele aflate la o distanță fixă față de un centru. Fără el, nu poți găsi vârful triunghiului cu precizie — obții o estimare, nu o construcție geometrică.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 9. Construcția triunghiurilor. Inegalități între elementele triunghiului..

Exersează cu fișa de lucru: Construcția triunghiurilor — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Unghi la centru: formulă + 5 exerciții rezolvate

11 septembrie 2026

Adverbul actualizare si clasificari: 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Triunghiul echilateral: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună