Ai un număr mare în față — să zicem 4.728 — și trebuie să știi dacă se împarte exact la 3. Sau la 9. Sau la 6. Îl împarți efectiv, cifră cu cifră, și pierzi două minute? Nu trebuie. Există un set de reguli scurte, numite criterii de divizibilitate, care îți spun în câteva secunde dacă un număr se împarte exact la altul — fără să faci împărțirea completă. Practic, e ca un cod secret al matematicii. Odată ce îl înveți, nu mai pierzi vremea cu calcule lungi. Și nu e complicat — fiecare criteriu are o logică clară în spate, nu e ceva de memorat forțat. Hai să le luăm pe rând, să vedem cum funcționează și de ce funcționează.
📌 Ce vei învăța
- Vei înțelege ce înseamnă că un număr este divizibil cu altul și de ce contează asta
- Vei ști să aplici criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9, 10 și 6 direct, fără calcule lungi
- Vei recunoaște greșelile clasice și vei ști cum să le eviți în exerciții
- Vei rezolva singur probleme din programa de clasa 5-8, inclusiv cele cu mai multe condiții simultan
Ce înseamnă, de fapt, că un număr e divizibil cu altul?
Să zicem că ai 12 bomboane și vrei să le împarți la 4 prieteni în mod egal. Merge perfect — fiecare primește 3. Adică 12 este divizibil cu 4. Acum încearcă cu 13 bomboane și 4 prieteni. Nu mai iese exact — rămâne una în plus. Adică 13 nu este divizibil cu 4. Asta-i tot. Un număr este divizibil cu un număr dacă împărțirea dă un rezultat întreg, fără rest. Notăm asta , adică „ divide pe ”. Criteriile de divizibilitate sunt exact niște scurtături — reguli care îți spun dacă restul e zero, fără să faci împărțirea efectivă. Îți economisesc timp și te scapă de erori de calcul.
💡 Regula de bază
Un număr este divizibil cu dacă există un număr natural astfel încât . Adică împărțirea dă rest zero. Criteriile de divizibilitate îți arată cum să verifici asta rapid, uitându-te doar la una sau câteva cifre ale numărului.
Criteriile de divizibilitate — fiecare explicat pe înțelesul tău
Divizibilitate cu 2. Simplu de tot. Te uiți doar la ultima cifră. Dacă e 0, 2, 4, 6 sau 8 — numărul e par și se împarte la 2. Dacă e 1, 3, 5, 7 sau 9 — nu se împarte. De ce? Pentru că 10 se împarte la 2, deci orice multiplu de 10 se împarte la 2. Contează doar ultima cifră, restul „se rezolvă singur”. Exemplu: 4.736 — ultima cifră e 6, deci da, este divizibil cu 2.
Divizibilitate cu 5. Tot ultima cifră. Dacă e 0 sau 5 — se împarte la 5. Dacă nu — gata, nu se împarte. Exemplu: 4.730 — ultima cifră e 0, deci da. Dar 4.733? Ultima cifră e 3 — nu.
Divizibilitate cu 10. Ultima cifră trebuie să fie 0. Doar 0. Exemplu: 5.820 — da. Dar 5.825 — nu.
Divizibilitate cu 3. Uite unde devine mai interesant. Nu te mai uiți la ultima cifră — te uiți la suma tuturor cifrelor. Dacă suma respectivă se împarte la 3, atunci și numărul se împarte la 3. Exemplu: 4.728 — suma cifrelor e . Și 21 se împarte la 3 (21 = 3 × 7). Deci da, 4.728 este divizibil cu 3. Poți repeta procesul: dacă suma e tot mare, aduni din nou cifrele ei.
Divizibilitate cu 9. Aceeași idee ca la 3, dar condiția e mai strictă: suma cifrelor trebuie să se împartă la 9. Exemplu: 4.728 — suma e 21. Se împarte 21 la 9? Nu (21 = 9 × 2 + rest 3). Deci 4.728 nu este divizibil cu 9. Dar 4.725? Suma: . Și 18 se împarte la 9 (18 = 9 × 2). Deci da.
Divizibilitate cu 6. Asta-i combinată. Un număr se împarte la 6 dacă se împarte și la 2, și la 3 în același timp. Are sens, nu? Că 6 = 2 × 3. Deci verifici două condiții: ultima cifră e pară, și suma cifrelor e divizibilă cu 3. Ambele trebuie să fie adevărate. Una singură nu ajunge.
💡 Regula de bază
Pe scurt: cu 2 și 5 — ultima cifră. Cu 3 și 9 — suma cifrelor. Cu 10 — ultima cifră e 0. Cu 6 — verifici simultan criteriul pentru 2 și cel pentru 3. Dacă amândouă sunt îndeplinite, numărul se împarte la 6.
Exemplu rezolvat pas cu pas
📝 Enunț
Stabilește prin care dintre numerele 2, 3, 5, 6, 9, 10 este divizibil numărul 5.418.
🔢 Rezolvare
✅ Explicație
Ai văzut cum merg pașii: mai întâi ultima cifră — rezolvă dintr-o privire întrebările cu 2, 5 și 10. Apoi suma cifrelor — răspunde la 3 și 9 deodată. La final, 6 nu mai are nevoie de calcul separat, îl deduci direct din ce știai deja. Metoda asta te scapă de orice împărțire lungă.
Greșeli frecvente
❌ Greșeala #1: La criteriul pentru 9, elevii verifică dacă suma cifrelor e pară sau dacă se termină în 9 — în loc să verifice dacă suma se împarte la 9. De exemplu, văd numărul 279 și zic „se termină în 9, deci e divizibil cu 9″. Greșit. Suma cifrelor: . 18 se împarte la 9 — deci da, dar nu din cauza ultimei cifre.
✅ Corect: La 3 și la 9 te uiți exclusiv la suma cifrelor, nu la ultima cifră. Regula cu ultima cifră e valabilă doar pentru 2, 5 și 10.
❌ Greșeala #2: La criteriul pentru 6, unii verifică doar una dintre condiții. Văd că numărul e par și zic gata, e divizibil cu 6. Sau verifică doar că suma cifrelor se împarte la 3. Una singură nu-i de ajuns.
✅ Corect: Trebuie să fie adevărate ambele condiții simultan — numărul e par (criteriu pentru 2) și suma cifrelor se împarte la 3 (criteriu pentru 3). Altfel nu merge.
Exerciții rezolvate
- Prin care dintre numerele 2, 5, 10 este divizibil numărul 3.450? (Răspuns: prin 2, 5 și 10 — ultima cifră e 0)
- Este numărul 7.236 divizibil cu 6? Justifică. (Răspuns: Da — ultima cifră e 6, deci par; suma cifrelor , care se împarte la 3; ambele condiții sunt îndeplinite)
- Află cea mai mică cifră pentru care numărul este divizibil cu 3. (Răspuns: suma fără este ; trebuie ca să se împartă la 3; cel mai mic care merge este , deoarece și )
Întrebări frecvente
Trebuie să știu pe dinafară toate criteriile sau le pot deduce?
Sincer? Merită să le știi automat pe cele pentru 2, 3, 5, 9 și 10 — le folosești des și câștigați timp. Criteriul pentru 6 nu-l memorezi separat: dacă știi regulile pentru 2 și 3, îl deduci instant. Asta-i și frumusețea lui — nu e o regulă nouă, e o combinație din ce știai deja.
De ce funcționează suma cifrelor pentru 3 și 9? Pare magic.
Nu-i magie, e algebră. Orice cifră de pe o poziție reprezintă un multiplu de 10, iar 10 = 9 + 1. Practic, fiecare putere a lui 10 lasă rest 1 la împărțirea cu 9. Asta înseamnă că restul întregului număr la împărțirea cu 9 e egal cu restul sumei cifrelor la împărțirea cu 9. La clasa a 5-a nu trebuie să demonstrezi asta — dar e bine să știi că există un motiv real în spate.
Pot afla dacă un număr e divizibil cu 4 sau cu 8 folosind criterii?
Da, există și criterii pentru 4 și 8, chiar dacă nu sunt în programa de clasa 5. Pe scurt: un număr e divizibil cu 4 dacă ultimele două cifre formează un număr divizibil cu 4. E divizibil cu 8 dacă ultimele trei cifre formează un număr divizibil cu 8. Exemplu: 5.312 — ultimele două cifre sunt 12, iar 12 ÷ 4 = 3, deci 5.312 este divizibil cu 4.
Toate lecțiile video disponibile pe Școala Virtuală
