29. Scrierea în baza 10. Scrierea în baza 2. Trecerea dintr-o bază în alta

Știai că orice informație dintr-un calculator — de la un mesaj text până la o fotografie — există, de fapt, sub formă de zerouri și unu? Totul ține de scrierea în baza 2, numită și sistemul binar, și de modul în care ea se leagă de baza 10 pe care o folosim zilnic. Lecția asta îți arată pas cu pas cum funcționează cele două sisteme de numerație și cum treci dintr-o bază în alta fără să te pierzi. Vei înțelege de ce un număr ca $13$ devine $1101$ în binar și cum ajungi înapoi la forma obișnuită. E exact genul de subiect care apare la teste și care, odată înțeles cu adevărat, devine aproape distractiv de aplicat.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege structura sistemului pozițional în baza 10 și rolul fiecărei cifre în funcție de locul ei.
Vei ști să citești și să scrii numere în baza 2, folosind doar cifrele $0$ și $1$ .
Vei ști să convertești un număr din baza 10 în baza 2 prin împărțiri repetate la $2$ .
Vei ști să treci un număr din baza 2 în baza 10 folosind puterile lui $2$ .

Exemplu rezolvat

Enunț

Scrie numărul $45_{10}$ în baza 2, apoi verifică rezultatul convertind înapoi în baza 10.

Rezolvare

Pas 1–5: împărțim repetat la 2 și reținem resturile. Pasul 6: citim resturile de jos în sus. Pasul 7: verificare prin puterile lui 2.

45 \div 2 = 22 \text{ rest } 1

22 \div 2 = 11 \text{ rest } 0

11 \div 2 = 5 \text{ rest } 1

5 \div 2 = 2 \text{ rest } 1

2 \div 2 = 1 \text{ rest } 0

1 \div 2 = 0 \text{ rest } 1

45_{10} = 101101_{2}

1 \cdot 2^5 + 0 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0

= 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 45_{10} \checkmark

Explicație

La conversia din baza 10 în baza 2, împărțim succesiv la $2$ și colectăm resturile — apoi le citim de la ultimul spre primul. La verificare, fiecare cifră binară se înmulțește cu puterea lui $2$ corespunzătoare poziției sale (de la dreapta, pornind de la $2^0$ ). Dacă suma dă numărul inițial, conversia e corectă.

Idei cheie de reținut

Pentru a converti din baza 10 în baza 2, împarte repetat la $2$ și citește resturile de jos în sus.
Pentru a converti din baza 2 în baza 10, înmulțește fiecare cifră cu $2$ ridicat la puterea poziției sale (numărată de la dreapta, începând cu $0$ ).
Verificarea e rapidă: aplică ambele transformări în serie — dacă ajungi la numărul de plecare, ai rezolvat corect.

Întrebări frecvente

De ce citesc resturile de jos în sus și nu de sus în jos?

Primul rest pe care îl obții reprezintă cifra de pe poziția unităților (cea mai mică putere a lui $2$ ), adică $2^0$ . Ultimul rest reprezintă cea mai mare putere. Dacă ai citi de sus în jos, ai inversa ordinea cifrelor și ai obține un număr complet diferit. Obișnuiește-te să încercuiești resturile și să tragi o săgeată în sus — ajută vizual.

Cum știu câte cifre va avea numărul în baza 2?

Numărul de cifre binare este egal cu numărul de împărțiri pe care le faci până când câtul devine $0$ . Nu trebuie să știi dinainte — faci împărțirile pas cu pas și te oprești când câtul e $0$ . Ca regulă orientativă: numerele până la $255_{10}$ au cel mult 8 cifre binare, adică un octet.

Care e cea mai frecventă greșeală la acest subiect?

Elevii uită să includă și ultimul cât (care este $1$ ) printre cifrele binare. Șirul de cifre se formează din toate resturile plus ultimul cât nenul, citite de jos în sus. Dacă te oprești prea devreme, numărul tău binar va fi mai scurt decât trebuie și verificarea nu va ieși. Fă întotdeauna proba prin reconversie în baza 10.

Matematică clasa a V-a

29. Scrierea în baza 10. Scrierea în baza 2. Trecerea dintr-o bază în alta

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente