1. Mulțimi. Descriere, notații, reprezentări.

Matematica are un punct de plecare clar, iar acela se numește mulțime. Înainte să calculezi, să rezolvi ecuații sau să lucrezi cu funcții, trebuie să știi cum se organizează și se numesc grupurile de obiecte, numere sau elemente cu care lucrezi. Lecția aceasta îți explică exact ce este o mulțime, cum o descrii prin enumerarea elementelor sau printr-o proprietate comună, cum o notezi corect și cum o reprezinți grafic printr-o diagramă Venn. O să înțelegi diferența dintre apartenența unui element la o mulțime și incluziunea unei mulțimi în alta — două lucruri pe care elevii le confundă mereu la teste. Dacă ai simțit vreodată că mulțimile sunt abstracte și fără rost, după această lecție o să vezi că le folosești deja în viața de zi cu zi, fără să știi.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege ce este o mulțime și ce înseamnă că un element aparține sau nu aparține unei mulțimi.
Vei ști să descrii o mulțime prin enumerarea elementelor și prin indicarea unei proprietăți comune.
Vei ști să folosești corect notațiile: acolade, simbolurile $\in$ și $\notin$ , litere mari pentru mulțimi și litere mici pentru elemente.
Vei înțelege cum se reprezintă o mulțime printr-o diagramă Venn și când spunem că o mulțime este inclusă în alta.

Exemplu rezolvat

Enunț

Fie mulțimea $A$ formată din toate numerele naturale pare mai mici decât 10. Scrie mulțimea $A$ prin enumerarea elementelor, precizează dacă $5 \in A$ și dacă $\{2, 4\} \subseteq A$ .

Rezolvare

Pas cu pas:

A = \{0, 2, 4, 6, 8\}

5 \notin A \quad \text{(5 este număr impar, nu se află în } A\text{)}

\{2, 4\} \subseteq A \quad \text{(ambele elemente 2 și 4 se află în } A\text{)}

Explicație

Am identificat mai întâi elementele care îndeplinesc proprietatea — numere naturale pare, strict mai mici decât 10 — și le-am enumerat între acolade. Simbolul $\in$ verifică dacă un singur element face parte din mulțime, iar $\subseteq$ verifică dacă toate elementele unei submulțimi se regăsesc în mulțimea dată. Sunt două relații diferite și e important să nu le amesteci.

Idei cheie de reținut

O mulțime se notează cu literă mare și se scrie între acolade: $A = \{1, 2, 3\}$ ; elementele nu se repetă și ordinea nu contează.
$\in$ înseamnă că un element face parte dintr-o mulțime; $\subseteq$ înseamnă că o mulțime este inclusă în alta — sunt simboluri diferite cu sensuri diferite.
O mulțime poate fi descrisă fie prin enumerare, fie printr-o proprietate: $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 5\}$ este la fel de corect ca $A = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ .

Întrebări frecvente

Care este diferența dintre ∈ și ⊆ și de ce îi confundă toată lumea?

$\in$ se folosește pentru un element: $3 \in A$ . $\subseteq$ se folosește pentru o mulțime: $\{3, 5\} \subseteq A$ . Confuzia apare pentru că ambele exprimă o relație de „a face parte din”, dar la niveluri diferite. Trucul: dacă ai acolade, folosești $\subseteq$ ; dacă ai un singur element fără acolade, folosești $\in$ .

Mulțimea vidă chiar contează? Pare că nu face nimic.

Mulțimea vidă, notată $\emptyset$ sau $\{\}$ , este mulțimea care nu conține niciun element. Pare banală, dar e inclusă în orice altă mulțime — adică $\emptyset \subseteq A$ pentru orice $A$ . Vei întâlni mulțimea vidă des când rezolvi ecuații sau inecuații care nu au soluții, deci merită să o ții minte.

Pot scrie elementele unei mulțimi în orice ordine sau trebuie să fie ordonate?

Poți scrie elementele în orice ordine — ordinea nu contează în definiția unei mulțimi. $\{1, 2, 3\}$ și $\{3, 1, 2\}$ sunt exact aceeași mulțime. În practică, e mai ordonat să le scrii crescător, mai ales la numere, dar nu pierzi puncte dacă nu o faci.

Matematică clasa a VI-a

1. Mulțimi. Descriere, notații, reprezentări.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente