Flat lay of assorted stationery items including notebooks, pens, calculator, and sticky notes.

de Echipa Școala Virtuală30 august 2026

Descrierea mulțimilor: definiție + 5 exerciții rezolvate

Q: Contează ordinea elementelor când scriu o mulțime prin enumerare?

Nu contează. {1,2,3} și {3,1,2} sunt exact aceeași mulțime. Într-o mulțime nu există "primul" sau "al doilea" element — există doar apartenența. De obicei scriem elementele în ordine crescătoare ca să fie mai ușor de citit, dar nu e o regulă matematică obligatorie.

Q: Ce înseamnă mulțimea vidă și cum o scriu?

Mulțimea vidă e mulțimea fără niciun element — adică un grup gol. Se notează ∅ sau {} . De exemplu, mulțimea numerelor naturale mai mici decât 0 este vidă, pentru că nu există niciun număr natural negativ. Nu scrie {0} — aia e o mulțime cu un element, nu mulțimea vidă.

Q: Pot pune orice fel de obiecte într-o mulțime, sau doar numere?

Poți pune orice, atâta timp cât condiția de apartenență e clară. La matematică în clasele 5-8 vei lucra mai ales cu numere. Dar o mulțime poate conține litere, figuri geometrice, culori — important e că știi clar dacă un element face parte sau nu. Dacă nu poți decide, mulțimea nu e bine definită.

Știai că, de fapt, folosești mulțimi în fiecare zi — fără să îți dai seama? Când îți sortezi hainele pe raft: bluzele la stânga, pantalonii la dreapta, șosetele undeva la mijloc. Aia-i o mulțime. Un grup de obiecte care au ceva în comun. Descrierea mulțimilor e tocmai asta — modul în care îi spui matematicii ce elemente conține grupul tău. Sună simplu. Și este, de fapt, simplu. Dar există câteva confuzii clasice care îi încurcă pe aproape toți la început — mai ales când apare acea acoladă ciudată sau când trebuie să alegi între două feluri de a descrie aceeași mulțime. Hai să vedem ce înseamnă concret, cu exemple pe care le înțelegi din prima.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este o mulțime și cum o recunoști
Vei ști să descrii o mulțime prin enumerarea elementelor
Vei ști să descrii o mulțime printr-o proprietate comună
Vei evita cele mai frecvente greșeli la scriere și notare

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Ce este, de fapt, o mulțime?

O mulțime e un grup bine definit de obiecte. "Bine definit" înseamnă că poți spune clar dacă un element face parte din grup sau nu. De exemplu: "numerele pare mai mici decât 10" — poți verifica orice număr și știi sigur dacă e înăuntru sau nu. Asta e o mulțime. Pe de altă parte, "numerele mari" nu e o mulțime bine definită — "mare" față de ce? Nu știi unde tragi linia. Elementele unei mulțimi pot fi numere, litere, obiecte — orice, atâta timp cât condiția de apartenență e clară. Și un detaliu important: în matematică, elementele se scriu între acolade, adică ${$ și $}$ . Asta e notația standard — o vei vedea peste tot.

💡 Regula de bază

O mulțime poate fi descrisă în două moduri: prin enumerare (listezi elementele între acolade) sau prin proprietate (descrii condiția pe care o îndeplinesc elementele). Ambele variante sunt corecte — uneori una e mai practică decât cealaltă.

Cele două moduri de descriere

Practic, ai două unelte la dispoziție. Prima e enumerarea — pur și simplu scrii elementele, separate prin virgulă, între acolade. Uite: mulțimea cifrelor pare este $A = {0, 2, 4, 6, 8}$ . Simplu. Funcționează perfect când mulțimea are puține elemente și le poți lista pe toate. Problema apare când mulțimea e infinită sau pur și simplu enormă — nu poți scrie un milion de numere. Acolo intră a doua unealtă: descrierea prin proprietate. În loc să listezi, spui condiția. Scriem $A = {x \in ℕ | x este par}$ și asta înseamnă: "mulțimea tuturor numerelor naturale $x$ care sunt pare". Bara verticală $|$ se citește "astfel încât". Cam ca și cum ai spune: ia toate numerele naturale și păstrează-le doar pe cele pare.

💡 Regula de bază

Prin enumerare: $A = {1, 3, 5, 7}$ . Prin proprietate: $A = {x \in ℕ | x este impar și x \leq 7}$ . Ambele descriu aceeași mulțime. Alegi varianta în funcție de ce ți se cere sau ce e mai practic.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Descrie mulțimea $A$ a divisorilor lui 12, atât prin enumerare, cât și prin proprietate.

🔢 Rezolvare

12 \div 1 = 12 \Rightarrow 1 este divizor

12 \div 2 = 6 \Rightarrow 2 este divizor

12 \div 3 = 4 \Rightarrow 3 este divizor

12 \div 4 = 3 \Rightarrow 4 este divizor

12 \div 6 = 2 \Rightarrow 6 este divizor

12 \div 12 = 1 \Rightarrow 12 este divizor

𝐏𝐫𝐢𝐧 𝐞𝐧𝐮𝐦𝐞𝐫𝐚𝐫𝐞: A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

𝐏𝐫𝐢𝐧 𝐩𝐫𝐨𝐩𝐫𝐢𝐞𝐭𝐚𝐭𝐞: A = {x \in ℕ^{*} | x divide 12}

✅ Explicație

Am verificat pe rând fiecare număr: dacă împarte 12 fără rest, e divizor. I-am adunat pe toți și i-am scris între acolade — asta e enumerarea. Apoi am formulat condiția în cuvinte matematice — asta e descrierea prin proprietate. Același grup de numere, două feluri de a-l prezenta.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Repeți un element în mulțime. De exemplu, scrii ${1, 2, 2, 3}$ pentru că 2 apare de două ori în calcul.

✅ Corect: Într-o mulțime, fiecare element apare o singură dată. Dacă 2 apare de două ori în calculele tale, îl scrii o dată. Mulțimea e ${1, 2, 3}$ .

❌ Greșeala #2: Uiți să specifici din ce mulțime mai mare iei elementele când descrii prin proprietate. Scrii ${x | x este par}$ fără să zici că $x$ e număr natural.

✅ Corect: Scrie mereu ${x \in ℕ | x este par}$ sau ${x \in ℤ | x este par}$ — în funcție de context. Fără asta, nu se știe din ce "univers" faci selecția.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Scrie prin enumerare mulțimea cifrelor impare.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Cifrele sunt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Cele impare: 1, 3, 5, 7, 9

A = {1, 3, 5, 7, 9}

Ai luat toate cifrele posibile și le-ai păstrat doar pe cele care nu se împart exact la 2. Le-ai scris între acolade, separate prin virgulă.

Răspuns: $A = {1, 3, 5, 7, 9}$

Exercițiul 2. Descrie prin proprietate mulțimea $B = {2, 4, 6, 8, 10}$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Observ că toate elementele sunt numere pare.

Cel mai mic este 2, cel mai mare este 10.

B = {x \in ℕ | x par, 2 \leq x \leq 10}

Am identificat ce au în comun toate elementele — sunt pare și sunt cuprinse între 2 și 10. Am tradus asta în limbaj matematic, specificând și că $x$ e număr natural.

Răspuns: $B = {x \in ℕ | x par și 2 \leq x \leq 10}$

Exercițiul 3. Fie $C = {x \in ℕ | x \leq 5}$ . Scrie mulțimea $C$ prin enumerare.

Vezi rezolvarea pas cu pas

Numerele naturale mai mici sau egale cu 5 sunt:

0, 1, 2, 3, 4, 5

C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Atenție: numerele naturale încep de la 0, nu de la 1. Dacă uiți 0, mulțimea e incompletă. Am listat toate valorile care respectă condiția $x \leq 5$ .

Răspuns: $C = {0, 1, 2, 3, 4, 5}$

Exercițiul 4. Scrie prin enumerare mulțimea divisorilor lui 18, apoi verifică câte elemente are.

Vezi rezolvarea pas cu pas

18 \div 1 = 18 \Rightarrow 1 \in D

18 \div 2 = 9 \Rightarrow 2 \in D

18 \div 3 = 6 \Rightarrow 3 \in D

18 \div 6 = 3 \Rightarrow 6 \in D

18 \div 9 = 2 \Rightarrow 9 \in D

18 \div 18 = 1 \Rightarrow 18 \in D

D = {1, 2, 3, 6, 9, 18} \Rightarrow 6 elemente

Un truc util: divisorii vin în perechi — $1 \times 18$ , $2 \times 9$ , $3 \times 6$ . Dacă găsești perechile, nu riști să uiți vreunul.

Răspuns: $D = {1, 2, 3, 6, 9, 18}$ , 6 elemente

Exercițiul 5. Provocare: Fie $E = {x \in ℕ | x^{2} < 30}$ . Scrie mulțimea $E$ prin enumerare.

Vezi rezolvarea pas cu pas

0^{2} = 0 < 30 \Rightarrow 0 \in E

1^{2} = 1 < 30 \Rightarrow 1 \in E

2^{2} = 4 < 30 \Rightarrow 2 \in E

3^{2} = 9 < 30 \Rightarrow 3 \in E

4^{2} = 16 < 30 \Rightarrow 4 \in E

5^{2} = 25 < 30 \Rightarrow 5 \in E

6^{2} = 36 \geq 30 \Rightarrow 6 \notin E

E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Cheia e să testezi pe rând: calculezi pătratul fiecărui număr natural și verifici dacă respectă condiția $x^{2} < 30$ . De la 6 în sus, pătratul depășește 30, deci te oprești.

Răspuns: $E = {0, 1, 2, 3, 4, 5}$

Întrebări frecvente

Contează ordinea elementelor când scriu o mulțime prin enumerare?

Nu contează. ${1, 2, 3}$ și ${3, 1, 2}$ sunt exact aceeași mulțime. Într-o mulțime nu există "primul" sau "al doilea" element — există doar apartenența. De obicei scriem elementele în ordine crescătoare ca să fie mai ușor de citit, dar nu e o regulă matematică obligatorie.

Ce înseamnă mulțimea vidă și cum o scriu?

Mulțimea vidă e mulțimea fără niciun element — adică un grup gol. Se notează $\emptyset$ sau ${}$ . De exemplu, mulțimea numerelor naturale mai mici decât 0 este vidă, pentru că nu există niciun număr natural negativ. Nu scrie ${0}$ — aia e o mulțime cu un element, nu mulțimea vidă.

Pot pune orice fel de obiecte într-o mulțime, sau doar numere?

Poți pune orice, atâta timp cât condiția de apartenență e clară. La matematică în clasele 5-8 vei lucra mai ales cu numere. Dar o mulțime poate conține litere, figuri geometrice, culori — important e că știi clar dacă un element face parte sau nu. Dacă nu poți decide, mulțimea nu e bine definită.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 1. Mulțimi. Descriere, notații, reprezentări..

Exersează cu fișa de lucru: Mulțimi — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Unghi la centru: formulă + 5 exerciții rezolvate

11 septembrie 2026

Adverbul actualizare si clasificari: 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Triunghiul echilateral: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună