3. Relații între mulțimi. Egalitate. Incluziune. Submulțimi.

Mulțimile nu există izolate — ele se întâlnesc, se suprapun, se conțin una pe alta, sau sunt perfect identice. Lecția aceasta îți arată exact cum descriem aceste relații între mulțimi folosind trei concepte esențiale: egalitatea, incluziunea și submulțimile. Dacă te-ai întrebat vreodată de ce matematica vorbește despre „aparținere” și „includere” ca și cum mulțimile ar fi niște cutiuțe, vei primi răspunsul clar și vizual chiar aici. Vei scăpa de confuzia dintre simbolurile $\in$ și $\subseteq$ — o greșeală clasică de test — și vei ști să compari orice două mulțimi fără ezitare. E o lecție scurtă, dar pune bazele pentru tot ce urmează în teoria mulțimilor.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege când două mulțimi sunt egale și ce condiții trebuie îndeplinite pentru egalitate.
Vei ști să explici ce înseamnă că o mulțime este submulțime a alteia și cum se notează incluziunea.
Vei ști să deosebești simbolul de apartenență $\in$ de simbolul de incluziune $\subseteq$ și să le folosești corect.
Vei ști să determini toate submulțimile unei mulțimi finite cu număr mic de elemente.

Exemplu rezolvat

Enunț

Se dau mulțimile $A = \{1, 2, 3, 6\}$ și $B = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ este divizor al lui } 6\}$ . Verifică dacă $A = B$ , dacă $A \subseteq B$ și dacă $B \subseteq A$ , apoi listează toate submulțimile lui $C = \{a, b\}$ .

Rezolvare

Determinăm elementele lui B, comparăm mulțimile, apoi găsim submulțimile lui C:

B = \{1, 2, 3, 6\} \quad \text{(divizorii naturali ai lui 6)}

A = \{1, 2, 3, 6\} = B \Rightarrow A = B

A \subseteq B \text{ — adevărat, deoarece } A = B

B \subseteq A \text{ — adevărat, deoarece } A = B

\text{Submulțimile lui } C = \{a, b\}: \quad \emptyset,\ \{a\},\ \{b\},\ \{a, b\}

Explicație

Am scris mai întâi $B$ în extensie pentru a putea compara element cu element. Două mulțimi sunt egale exact când fiecare element al uneia se regăsește și în cealaltă — deci egalitatea implică automat incluziunea în ambele sensuri. Pentru submulțimile lui $C$ , o mulțime cu $n$ elemente are mereu $2^n$ submulțimi — aici $2^2 = 4$ , inclusiv mulțimea vidă $\emptyset$ .

Idei cheie de reținut

$A = B$ înseamnă că au exact aceleași elemente — ordinea sau repetiția nu contează la scriere, dar fiecare element trebuie să existe în ambele mulțimi.
Simbolul $\subseteq$ leagă două mulțimi („ $A$ este submulțime a lui $B$ „), pe când $\in$ leagă un element de o mulțime („ $3 \in A$ „) — nu le confunda la test.
Orice mulțime cu $n$ elemente are exact $2^n$ submulțimi, iar mulțimea vidă $\emptyset$ este submulțime a oricărei mulțimi.

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre

\in

și

\subseteq

? Mereu le încurc!

Foarte simplu: $\in$ se folosește între un element și o mulțime — de exemplu $3 \in A$ . Simbolul $\subseteq$ se folosește între două mulțimi — de exemplu $A \subseteq B$ . Dacă scrii $\{3\} \subseteq A$ , e corect; dacă scrii $3 \subseteq A$ , e greșit. Întrebarea-cheie: ce ai în stânga — un element sau o mulțime?

Mulțimea vidă este cu adevărat submulțime a oricărei mulțimi? Pare ciudat.

Da, și e unul dintre acele lucruri care par tricky la început. Logica e simplă: pentru ca $\emptyset$ să nu fie submulțime a lui $A$ , ar trebui să existe un element în $\emptyset$ care să nu fie în $A$ — dar $\emptyset$ nu are niciun element, deci condiția nu poate fi încălcată. Prin urmare, $\emptyset \subseteq A$ pentru orice mulțime $A$ .

Cum calculez rapid câte submulțimi are o mulțime, fără să le listez pe toate?

Folosești formula $2^n$ , unde $n$ este numărul de elemente ale mulțimii. De exemplu, o mulțime cu 3 elemente are $2^3 = 8$ submulțimi. Dacă ai timp la test, poți și lista — dar formula e mult mai rapidă și nu dă greș. Reține că $\emptyset$ și mulțimea însăși se numără întotdeauna.

Matematică clasa a VI-a

3. Relații între mulțimi. Egalitate. Incluziune. Submulțimi.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente