6. Proporții derivate. Șir de rapoarte egale.

Știi acel moment când ai două rapoarte egale și vrei să „tragi” de ele ca să obții altele noi, fără să pierzi egalitatea? Exact asta înseamnă proporții derivate — și e unul dintre cele mai elegante trucuri din matematica clasei a 6-a. În această lecție video vei vedea cum dintr-o proporție de bază poți construi proporții noi prin operații cu termeni (alternare, inversare, compunere, împărțire), și vei afla ce este un șir de rapoarte egale și de ce proprietatea lui fundamentală îți simplifică enorm calculele. Odată ce stăpânești aceste tehnici, problemele cu mărimi direct proporționale sau exercițiile de la concursuri nu mai par imposibile — ai instrumentele potrivite în mână.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege ce sunt proporțiile derivate și cum se obțin din o proporție dată prin alternare, inversare, compunere și împărțire.
Vei ști să aplici proprietatea fundamentală a proporțiilor pentru a verifica sau deduce proporții noi.
Vei înțelege ce este un șir de rapoarte egale și ce valoare comună au toate rapoartele din șir.
Vei ști să rezolvi probleme în care exprimi suma sau diferența termenilor folosind proprietatea șirului de rapoarte egale.

Exemplu rezolvat

Enunț

Se dă șirul de rapoarte egale $\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7}$ și se știe că $a + b + c = 45$ . Află valorile lui $a$ , $b$ și $c$ .

Rezolvare

Fiecare pas separat:

\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7} = \frac{a + b + c}{3 + 5 + 7}

\frac{a + b + c}{15} = \frac{45}{15} = 3

a = 3 \cdot 3 = 9

b = 5 \cdot 3 = 15

c = 7 \cdot 3 = 21

Explicație

Proprietatea șirului de rapoarte egale spune că fiecare raport este egal cu raportul sumei numărătorilor față de suma numitorilor. Înlocuind suma $a+b+c = 45$ și suma numitorilor $3+5+7 = 15$ , găsim valoarea comună $k = 3$ . De acolo, fiecare variabilă se obține înmulțind numitorul ei cu $k$ .

Idei cheie de reținut

Dintr-o proporție $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ poți deriva imediat proporții noi (ex: $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$ ) fără să schimbi egalitatea.
Într-un șir de rapoarte egale, valoarea comună $k$ se găsește împărțind suma oricărui grup de numărători la suma numitorilor corespunzători.
Verifică întotdeauna rezultatul: înlocuiește valorile găsite înapoi în rapoarte și confirmă că sunt egale.

Întrebări frecvente

Cum știu ce proporție derivată să folosesc la un exercițiu?

Uită-te ce expresii îți cere problema: dacă apare o sumă de termeni, gândește-te la compunere; dacă apare o diferență, la împărțire. Nu trebuie să le memorezi pe toate odată — exersând 3-4 exerciții de fiecare tip, mâna merge singură. La test, scrie întâi proporția de bază și apoi derivează pas cu pas.

De ce suma numitorilor contează atât de mult în șirul de rapoarte egale?

Pentru că proprietatea șirului spune că valoarea comună $k$ satisface relația $\frac{\text{sumă numărători}}{\text{sumă numitori}} = k$ . Dacă greșești suma numitorilor, $k$ iese greșit și toate valorile $a, b, c$ vor fi incorecte. Acordă atenție specială acestui pas — e locul unde se fac cele mai multe greșeli de calcul.

Pot folosi metoda șirului de rapoarte egale și dacă termenii sunt numere negative?

Da, proprietatea funcționează la fel și cu numere negative, atâta timp cât niciun numitor nu este zero. Atenție la semne când aduni numărătorii și numitorii — o greșeală de semn acolo strică tot. Dacă $k$ îți iese negativ, nu te sperie: înmulțești normal fiecare numitor cu $k$ și obții valorile corecte.

Matematică clasa a VI-a

6. Proporții derivate. Șir de rapoarte egale.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente