19. Inecuații în mulțimea numerelor întregi.

Matematica devine interesantă când numerele nu mai au limite fixe — și exact asta se întâmplă când rezolvi inecuații în mulțimea numerelor întregi. Lecția aceasta te poartă pas cu pas prin tehnica de a găsi toate valorile întregi care satisfac o inecuație: când să păstrezi sensul inegalității, când îl întorci, și cum să citești corect soluțiile pe axa numerelor. Dacă te-ai împiedicat vreodată la semnul „<" sau „>” și nu știai dacă să incluzi sau nu capătul intervalului, răspunsul e chiar aici. La final vei ști exact ce scrii ca mulțime de soluții și nu vei mai confunda niciodată $\mathbb{Z}$ cu $\mathbb{N}$ atunci când dai răspunsul.

Ce vei învăța în această lecție

Vei înțelege ce înseamnă soluția unei inecuații în mulțimea numerelor întregi și cum o scrii corect.
Vei ști să aplici proprietățile inegalităților (adunare, scădere, înmulțire și împărțire) fără să greșești sensul.
Vei înțelege de ce înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ întoarce semnul inegalității.
Vei ști să identifici și să notezi mulțimea soluțiilor întregi ale unei inecuații, inclusiv pe axa numerelor.

Exemplu rezolvat

Enunț

Rezolvă inecuația $3x – 7 \leq 2x + 1$ în mulțimea numerelor întregi și scrie mulțimea soluțiilor.

Rezolvare

Mutăm termenii cu x în stânga și constantele în dreapta:

3x – 7 \leq 2x + 1

3x – 2x \leq 1 + 7

x \leq 8

\mathcal{S} = \{ \ldots,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ \ldots,\ 8 \} =

\{ x \in \mathbb{Z} \mid x \leq 8 \}

Explicație

Am tratat inecuația ca pe o ecuație obișnuită: am mutat $2x$ în stânga și $-7$ în dreapta, schimbând semnele. Deoarece am adunat și scăzut (nu am înmulțit cu negativi), sensul inegalității rămâne neschimbat. Soluția $x \leq 8$ în $\mathbb{Z}$ înseamnă toate numerele întregi mai mici sau egale cu 8 — o mulțime infinită spre stânga.

Idei cheie de reținut

Când înmulțești sau împarți ambii membri ai unei inecuații cu un număr negativ, sensul inegalității se întoarce: $<$ devine $>$ și invers.
Soluțiile în $\mathbb{Z}$ sunt doar numerele întregi din intervalul găsit — nu orice număr real, ci strict valori ca $\ldots, -1, 0, 1, 2, \ldots$
Dacă inecuația are soluție de forma $x \leq n$ sau $x \geq n$ , capătul $n$ se include în mulțimea soluțiilor (spre deosebire de $<$ sau $>$ unde nu se include).

Întrebări frecvente

De ce întoarcem semnul inegalității doar când înmulțim cu un număr negativ?

Gândește-te simplu: $2 < 5$ e adevărat. Dacă înmulțești ambii membri cu $-1$ , obții $-2$ și $-5$ . Pe axa numerelor, $-2$ e mai mare decât $-5$ , deci inegalitatea devine $-2 > -5$ . Sensul s-a răsturnat! Asta se întâmplă de fiecare dată când lucrezi cu un factor negativ — ordinea numerelor negative e oglindită față de cele pozitive.

Care e cea mai frecventă greșeală la inecuații în mulțimea numerelor întregi?

Elevii uită că soluțiile trebuie să fie numere întregi. Găsesc intervalul corect, de exemplu $x \leq 8$ , dar scriu doar „ $x \leq 8$ ” fără să precizeze că $x \in \mathbb{Z}$ . La test, profesorul îți cere explicit mulțimea $\mathcal{S}$ scrisă cu numere întregi. O altă greșeală clasică: nu întorc semnul când împart la un număr negativ.

Dacă soluția e un interval infinit, cum o scriu corect?

Folosești notația cu mulțimea: $\mathcal{S} = \{ x \in \mathbb{Z} \mid x \leq 8 \}$ . Dacă intervalul e mărginit în ambele sensuri, de exemplu $-3 \leq x \leq 5$ , listezi valorile întregi: $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ . Când e infinit, punctele de suspensie $\ldots$ arată că șirul continuă. Ambele forme sunt acceptate, dar cea cu $\mid$ e mai elegantă și mai scurtă.

Matematică clasa a VI-a

19. Inecuații în mulțimea numerelor întregi.

Ce vei învăța în această lecție

Exemplu rezolvat

Idei cheie de reținut

Întrebări frecvente