Top view of blank notebook with scattered numbers on a vibrant blue background.

de Echipa Școala Virtuală30 august 2026

Determinarea c.m.m.d.c.: formulă + 5 exerciții rezolvate

Q: Care e diferența dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.?

C.m.m.d.c. e cel mai mare număr care împarte ambele numere. C.m.m.m.c. e cel mai mic număr care e multiplu al ambelor. La c.m.m.d.c. iei factorii comuni la puterea minimă. La c.m.m.m.c. iei toți factorii (și cei necomuni) la puterea maximă. Sunt operații diferite, cu logică diferită — nu le amesteca.

Ai două numere și trebuie să găsești cel mai mare număr care le împarte pe amândouă exact. Sună abstract, știu. Dar de fapt faci asta tot timpul — când vrei să împarți ceva în mod egal între mai mulți oameni și nu vrei să rămână resturi. Să zicem că ai 12 bomboane și 8 napolitane și vrei să faci punguțe identice, fără să rămână nimic. Câte punguțe poți face maxim? Exact — ăsta-i determinarea c.m.m.d.c. în acțiune. Cmmdc-ul lui 12 și 8 îți spune câte punguțe poți face. Nu e o formulă inventată ca să te chinuie. E o întrebare practică la care matematica îți dă un răspuns clar, de fiecare dată.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă c.m.m.d.c. și de ce e util
Vei ști să determini c.m.m.d.c. prin metoda descompunerii în factori primi
Vei recunoaște greșelile frecvente și vei ști cum să le eviți
Vei exersa cu 5 probleme rezolvate pas cu pas, de la simplu la complex

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Ce e, de fapt, c.m.m.d.c.?

C.m.m.d.c. înseamnă cel mai mare divizor comun. Adică: dacă ai două numere, cauți toate numerele care le împart exact pe amândouă — și îl alegi pe cel mai mare dintre ele. De exemplu, 18 și 24. Ce numere împart exact 18? Păi 1, 2, 3, 6, 9, 18. Ce numere împart exact 24? Sunt 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Care apar în ambele liste? Sunt 1, 2, 3 și 6. Cel mai mare? 6. Deci c.m.m.d.c.(18, 24) = 6. Simplu când îl vezi așa. Problema e că pentru numere mari, să listezi toți divizorii durează mult — și acolo intră metoda cu factori primi, care e mult mai rapidă.

💡 Regula de bază

Descompui fiecare număr în factori primi. Apoi iei doar factorii comuni, fiecare la puterea cea mai mică la care apare. Îi înmulțești și obții c.m.m.d.c. Dacă nu au niciun factor comun, c.m.m.d.c. = 1 — și spunem că numerele sunt prime între ele.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Determină c.m.m.d.c.(36, 60).

🔢 Rezolvare

36 = 2^{2} \cdot 3^{2}

60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

Factori comuni: 2 (la puterea minimă 2) și 3 (la puterea minimă 1)

c.m.m.d.c. (36, 60) = 2^{2} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12

✅ Explicație

Cheia e că nu iei factorii la puterea cea mai mare — asta ar fi pentru c.m.m.m.c. (cel mai mic multiplu comun, altă poveste). Aici vrei puterea cea mai mică pentru că te interesează ce au în comun ambele numere. Factorul 5 apare doar la 60, nu și la 36 — deci nu îl incluzi. Simplu odată ce știi logica din spate.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Iei factorii comuni la puterea cea mai mare în loc de cea mai mică. De exemplu, pentru c.m.m.d.c.(12, 18), $12 = 2^{2} \cdot 3$ și $18 = 2 \cdot 3^{2}$ — unii iau $2^{2} \cdot 3^{2} = 36$ . Dar 36 nu împarte exact 12. Greșeală clasică.

✅ Corect: Iei $2^{1} \cdot 3^{1} = 6$ . Puterea minimă pentru fiecare factor comun. Verifici: 12 ÷ 6 = 2 ✓ și 18 ÷ 6 = 3 ✓.

❌ Greșeala #2: Incluzi în c.m.m.d.c. factori care apar doar la unul dintre numere. Dacă $36 = 2^{2} \cdot 3^{2}$ și $60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5$ , unii includ și 5 în calcul fiindcă „apare la 60".

✅ Corect: La c.m.m.d.c. intră doar factorii care apar în ambele descompuneri. 5 apare doar la 60, deci nu îl incluzi. Asta e tot.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Determină c.m.m.d.c.(8, 12).

Vezi rezolvarea pas cu pas

8 = 2^{3}

12 = 2^{2} \cdot 3

Factor comun: 2, la puterea minimă 2

c.m.m.d.c. (8, 12) = 2^{2} = 4

Singurul factor comun e 2. La 8 apare la puterea 3, la 12 la puterea 2 — alegi minimul, adică 2. Factorul 3 apare doar la 12, deci nu îl iei.

Răspuns: c.m.m.d.c.(8, 12) = 4

Exercițiul 2. Determină c.m.m.d.c.(30, 45).

Vezi rezolvarea pas cu pas

30 = 2 \cdot 3 \cdot 5

45 = 3^{2} \cdot 5

Factori comuni: 3 (puterea minimă 1) și 5 (puterea minimă 1)

c.m.m.d.c. (30, 45) = 3 \cdot 5 = 15

Factorul 2 apare doar la 30 — îl lași deoparte. 3 și 5 apar la ambele, fiecare la puterea 1. Le înmulțești și gata.

Răspuns: c.m.m.d.c.(30, 45) = 15

Exercițiul 3. Determină c.m.m.d.c.(48, 72).

Vezi rezolvarea pas cu pas

48 = 2^{4} \cdot 3

72 = 2^{3} \cdot 3^{2}

Factori comuni: 2 (puterea minimă 3) și 3 (puterea minimă 1)

c.m.m.d.c. (48, 72) = 2^{3} \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24

Atenție la 2: apare la puterea 4 în 48 și la puterea 3 în 72 — alegi 3, minimul. La 3: puterea 1 în 48 și puterea 2 în 72 — alegi 1. Înmulțești și obții 24.

Răspuns: c.m.m.d.c.(48, 72) = 24

Exercițiul 4. Determină c.m.m.d.c.(35, 48).

Vezi rezolvarea pas cu pas

35 = 5 \cdot 7

48 = 2^{4} \cdot 3

Factori comuni: niciunul

c.m.m.d.c. (35, 48) = 1

Uneori răspunsul e 1 — și asta nu e greșit, e corect. Când două numere nu au niciun factor prim comun, spunem că sunt prime între ele (sau coprime). Se întâmplă des și e important să recunoști situația.

Răspuns: c.m.m.d.c.(35, 48) = 1 (numere prime între ele)

Exercițiul 5. Provocare: Ai 120 de creioane colorate și 180 de carioci pe care vrei să le împarți în truse identice, fără să rămână nimic. Câte truse poți face cel mult și câte creioane, respectiv câte carioci intră în fiecare?

Vezi rezolvarea pas cu pas

120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5

180 = 2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5

Factori comuni: 2 (min. 2), 3 (min. 1), 5 (min. 1)

c.m.m.d.c. (120, 180) = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60

Creioane per trusă: 120 \div 60 = 2

Carioci per trusă: 180 \div 60 = 3

C.m.m.d.c.-ul îți dă numărul maxim de truse — 60. Dacă faci mai puține truse, merge, dar nu îl întreabă asta exercițiul. Împarți fiecare cantitate la 60 și afli ce intră în fiecare trusă. Ăsta-i tipul de problemă aplicată unde c.m.m.d.c. chiar are sens concret.

Răspuns: Poți face cel mult 60 de truse, fiecare cu 2 creioane și 3 carioci.

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.?

C.m.m.d.c. e cel mai mare număr care împarte ambele numere. C.m.m.m.c. e cel mai mic număr care e multiplu al ambelor. La c.m.m.d.c. iei factorii comuni la puterea minimă. La c.m.m.m.c. iei toți factorii (și cei necomuni) la puterea maximă. Sunt operații diferite, cu logică diferită — nu le amesteca.

Dacă c.m.m.d.c. iese 1, am greșit ceva?

Nu ai greșit nimic. Când c.m.m.d.c.(a, b) = 1, numerele se numesc prime între ele sau coprime — pur și simplu nu au niciun factor prim comun. De exemplu, 8 și 15: $8 = 2^{3}$ și $15 = 3 \cdot 5$ — niciun factor comun, deci c.m.m.d.c. = 1. E un rezultat valid, nu o eroare.

Pot calcula c.m.m.d.c. pentru trei numere odată?

Da, și metoda e aceeași. Descompui toate trei în factori primi, apoi iei factorii care apar în toate trei descompunerile, fiecare la puterea cea mai mică dintre cele trei. De exemplu, c.m.m.d.c.(12, 18, 24): $12 = 2^{2} \cdot 3$ , $18 = 2 \cdot 3^{2}$ , $24 = 2^{3} \cdot 3$ . Factor comun: 2 la puterea 1 și 3 la puterea 1. Deci c.m.m.d.c. = 6.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 2. Determinarea c.m.m.d.c. Numere prime între ele..

Exersează cu fișa de lucru: Determinarea c.m.m.d.c — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Unghi la centru: formulă + 5 exerciții rezolvate

11 septembrie 2026

Adverbul actualizare si clasificari: 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Triunghiul echilateral: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună