Divizibilitatea numerelor naturale — definiție, proprietăți

de Echipa Școala Virtuală3 iulie 2026

Divizibilitatea numerelor naturale - reguli de divizibilitate și exerciții rezolvate

Q: Este 1 divizor al oricărui număr natural?

Da, întotdeauna. Orice număr natural a se împarte exact la 1, pentru că a÷1=a fără rest. La fel, orice număr este divizor al lui însuși: a÷a=1 . De aceea, în lista divizorilor oricărui număr, 1 și numărul respectiv apar mereu — sunt primii pe care îi scrii.

Vara asta ai timp. Nu mai e graba din timpul școlii, nu mai sunt teme peste teme. Și tocmai de aceea e momentul perfect să înțelegi divizibilitatea numerelor naturale cum trebuie — nu pe fugă, nu doar ca să treci clasa. Îți garantez că ai folosit deja divizibilitatea fără să știi. Când ai împărțit o pizza în bucăți egale pentru tine și prieteni, ai verificat dacă numărul de bucăți se împarte exact la numărul de persoane. Asta e tot. De fapt, asta e esența întregului capitol. Sună simplu? Cam este. Dar există câteva capcane în care pică aproape toți, și le vom vedea pe toate — inclusiv greșeala pe care o fac și eu uneori, când mă grăbesc.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă că un număr este divizibil cu altul și de ce contează
Vei ști să recunoști divizorii și multiplii oricărui număr natural
Vei aplica criteriile de divizibilitate pentru 2, 3, 5, 9 și 10 fără să faci calcule lungi
Vei evita cele mai frecvente greșeli pe care le fac elevii la acest capitol

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul — într-un singur abonament.

Abonează-te — 5 lei prima lună →

Ce înseamnă, de fapt, divizibilitatea?

Hai să zicem că ai 12 bomboane și vrei să le împarți egal între tine și doi prieteni — adică 3 persoane. Faci împărțirea: $12 \div 3 = 4$ . Exact, fără rest. Funcționează. Acum încearcă cu 5 persoane: $12 \div 5 = 2$ rest $2$ . Nu merge, rămân 2 bomboane în plus și situația devine incomodă. Ei bine, în primul caz spunem că 12 este divizibil cu 3. În al doilea caz, 12 nu este divizibil cu 5. Practic, divizibilitatea numerelor naturale înseamnă exact asta: verifici dacă împărțirea se face fără rest. Atât. Niciun mister, nicio formulă complicată — doar o împărțire care iese sau nu iese curat. De aici pornește tot capitolul.

💡 Regula de bază

Spunem că numărul natural $a$ este divizibil cu numărul natural $b$ (cu $b \neq 0$ ) dacă există un număr natural $c$ astfel încât $a = b \cdot c$ . Cu alte cuvinte: împărțirea $a \div b$ dă rest 0. Notăm asta $b | a$ , adică „ $b$ divide pe $a$ ".

Divizori și multipli — ce sunt și cum îi găsești

Aceste două cuvinte par fancy, dar sunt super simple. Să luăm numărul 12. Dacă $12 \div 3 = 4$ fără rest, atunci 3 este un divizor al lui 12 — adică 12 se împarte exact la 3. Și 4 este tot un divizor. Și 1, 2, 6, 12. Toți aceștia sunt divizorii lui 12. Pe de altă parte, multiplii lui 3 sunt numerele pe care le obții înmulțind 3 cu 1, 2, 3, 4... adică 3, 6, 9, 12, 15... Deci 12 este multiplu al lui 3. Observi că relația e reciprocă? Dacă 3 este divizor al lui 12, atunci 12 este multiplu al lui 3. Sunt ca două fețe ale aceleiași monede. Adică, practic, știi una — o știi automat și pe cealaltă.

💡 Regula de bază

Divizorii unui număr sunt mai mici sau egali cu el și sunt în număr finit. Multiplii unui număr sunt mai mari sau egali cu el și sunt infinit de mulți. Dacă $b | a$ , atunci $b$ este divizor al lui $a$ și $a$ este multiplu al lui $b$ .

Criteriile de divizibilitate — trucurile care îți salvează timp

Okay, aici e partea pe care o iubesc cel mai mult. Nu trebuie să faci împărțirea ca să știi dacă un număr mare se divide cu 2, 3, 5, 9 sau 10. Există niște scurtături — pe care le numim criterii de divizibilitate — și le poți aplica în câteva secunde. Uite-le pe toate:

Divizibil cu 2: ultimul cifră e 0, 2, 4, 6 sau 8. Adică numărul e par. Exemplu: 346 se termină în 6 → divizibil cu 2. ✔️

Divizibil cu 5: ultima cifră e 0 sau 5. Exemplu: 385 se termină în 5 → divizibil cu 5. ✔️

Divizibil cu 10: ultima cifră e 0. Exemplu: 1240 → divizibil cu 10. ✔️

Divizibil cu 3: suma cifrelor e divizibilă cu 3. Exemplu: 312 → $3 + 1 + 2 = 6$ , iar $6 \div 3 = 2$ → divizibil cu 3. ✔️

Divizibil cu 9: suma cifrelor e divizibilă cu 9. Exemplu: 729 → $7 + 2 + 9 = 18$ , iar $18 \div 9 = 2$ → divizibil cu 9. ✔️

💡 Regula de bază

Criteriile de divizibilitate îți permit să verifici dacă un număr se divide cu 2, 3, 5, 9 sau 10 fără să faci împărțirea efectivă. Le aplici uitându-te doar la ultima cifră (pentru 2, 5, 10) sau calculând suma cifrelor (pentru 3 și 9).

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Determină toți divizorii numărului 36 și verifică prin criteriile de divizibilitate cu care dintre numerele 2, 3, 5, 9 și 10 este divizibil 36.

🔢 Rezolvare

36 \div 1 = 36 \Rightarrow 1 și 36 sunt divizori ai lui 36

36 \div 2 = 18 \Rightarrow 2 și 18 sunt divizori ai lui 36

36 \div 3 = 12 \Rightarrow 3 și 12 sunt divizori ai lui 36

36 \div 4 = 9 \Rightarrow 4 și 9 sunt divizori ai lui 36

36 \div 6 = 6 \Rightarrow 6 este divizor al lui 36

D (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}

Suma cifrelor: 3 + 6 = 9 \Rightarrow divizibil cu 3 și cu 9

Ultima cifră este 6 \Rightarrow divizibil cu 2

Ultima cifră nu este 0 sau 5 \Rightarrow NU este divizibil cu 5 sau cu 10

✅ Explicație

Trucul la găsit divizori e să lucrezi în perechi: dacă $36 \div 4 = 9$ , atunci și 4 și 9 sunt divizori deodată. Asta înjumătățește munca. Mă opresc când cei doi divizori ai perechii se întâlnesc — adică la $\sqrt{36} = 6$ . Criteriile de divizibilitate le aplic rapid la final, fără niciun calcul lung.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Confundarea divizorilor cu multiplii. Elevii scriu că divizorii lui 4 sunt 4, 8, 12, 16... — dar acelea sunt multiplii lui 4, nu divizorii. Greșeala asta o fac toți la început, și sincer, o înțeleg — denumirile sună confuz.

✅ Corect: Divizorii lui 4 sunt numerele care împart exact pe 4: $D (4) = {1, 2, 4}$ . Multiplii lui 4 sunt 4, 8, 12, 16... Ține minte: divizorii sunt mai mici sau egali cu numărul, multiplii sunt mai mari sau egali cu el.

❌ Greșeala #2: Aplicarea greșită a criteriului pentru 9 — unii elevi calculează suma cifrelor, văd că e divizibilă cu 3 și concluzionează automat că e și cu 9. Exemplu: 33 → $3 + 3 = 6$ , divizibil cu 3, dar $6 \div 9$ nu e exact, deci 33 nu e divizibil cu 9.

✅ Corect: Criteriul pentru 9 cere ca suma cifrelor să fie divizibilă cu 9, nu doar cu 3. Verifici separat pentru 3 și separat pentru 9 — nu le combini automat.

Exerciții rezolvate

Scrie toți divizorii numărului 24. (Răspuns: $D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}$ )
Cu care dintre numerele 2, 3, 5, 9, 10 este divizibil numărul 270? (Răspuns: cu 2, 3, 5, 9 și 10 — suma cifrelor $2 + 7 + 0 = 9$ , ultima cifră 0)
Găsește cel mai mic număr de trei cifre care este divizibil atât cu 3, cât și cu 5. (Răspuns: 105 — trebuie să se termine în 0 sau 5 și suma cifrelor să fie multiplu de 3; $1 + 0 + 5 = 6$ ✔️)

Întrebări frecvente

Este 1 divizor al oricărui număr natural?

Da, întotdeauna. Orice număr natural $a$ se împarte exact la 1, pentru că $a \div 1 = a$ fără rest. La fel, orice număr este divizor al lui însuși: $a \div a = 1$ . De aceea, în lista divizorilor oricărui număr, 1 și numărul respectiv apar mereu — sunt primii pe care îi scrii.

Poate un număr să fie divizibil cu 9 și să nu fie divizibil cu 3?

Nu, asta e imposibil. Dacă un număr e divizibil cu 9, automat e și cu 3 — pentru că $9 = 3 \times 3$ . Invers nu e valabil: dacă e divizibil cu 3, nu înseamnă neapărat că e și cu 9. Deci 9 implică 3, dar 3 nu implică 9. Ține minte direcția asta și nu o mai inversa.

Câți divizori poate avea un număr? Există o limită?

Da, numărul de divizori e întotdeauna finit și depinde de numărul respectiv. Numărul 1 are un singur divizor (pe el însuși). Un număr prim are exact doi divizori: 1 și el însuși. Cu cât un număr are mai mulți factori primi în descompunere, cu atât are mai mulți divizori. Recordul pentru numere mici: 60 are 12 divizori.

Articole recente

Numeral ordinal — definiție, proprietăți și exemple

4 iulie 2026

Neologisme pe înțelesul tău — ce sunt și cum le recunoști

3 iulie 2026

Adverbul - definiție, exemple și exerciții

3 iulie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună