Close-up of a person writing in a graph notebook with a pencil at a wooden table, ideal for study and education themes.

de Echipa Școala Virtuală1 septembrie 2026

Drepte perpendiculare: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

Q: Cum știu dacă două drepte sunt perpendiculare fără raportor?

Din enunț — fie ți se spune direct că d1⟂d2 , fie ți se dă unghiul format și îl calculezi. În probleme scrise nu te bazezi niciodată pe desen. Dacă enunțul îți dă un unghi de 90° sau folosește simbolul ⟂ , ai certitudinea perpendicularității. Altfel, nu poți presupune.

Uită-te în jurul tău chiar acum. Colțul mesei, tocul ușii, liniile de pe caietul de matematică — toate astea sunt exemple de drepte perpendiculare, și nici nu ți-ai dat seama. E unul dintre conceptele care par abstracte când le citești în manual, dar de fapt le vezi zilnic. Problema e că mulți elevi ajung să le confunde cu dreptele paralele sau nu știu exact ce înseamnă că două drepte „se taie în unghi drept". Și de acolo vine tot haosul. Hai să lămurim asta o dată pentru totdeauna — fără definiții plictisitoare, fără fraze din manual. Îți arăt cum gândesc eu când văd o problemă cu drepte perpendiculare, și plecăm de la zero.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce sunt dreptele perpendiculare și cum le recunoști imediat
Vei ști să verifici dacă două drepte sunt perpendiculare folosind unghiurile formate
Vei cunoaște proprietățile esențiale și simbolul folosit în exerciții
Vei rezolva 5 exerciții pas cu pas, de la simplu la provocare

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Ce înseamnă de fapt drepte perpendiculare

Să zicem că ai două creioane pe bancă. Le pui unul peste altul și le mișți până formează un colț perfect — exact ca litera „L" sau ca un colț de caiet. Nici mai deschis, nici mai închis. Exact 90 de grade. Asta-i tot. Două drepte sunt perpendiculare atunci când se intersectează și formează un unghi drept, adică un unghi de $90 °$ . Practic, când ele se „taie", nu o fac oricum — o fac precis, la unghi drept. Și nu contează unde pe drepte are loc intersecția. Contează doar unghiul format. Dacă-i $90 °$ , sunt perpendiculare. Dacă nu-i $90 °$ , nu sunt — chiar dacă arată aproape corect. De asta la geometrie nu ne bazăm pe ochi, ci pe calcule și instrumente.

💡 Regula de bază

Două drepte sunt perpendiculare dacă se intersectează și formează un unghi de $90 °$ . Scriem asta cu simbolul $⟂$ : dacă dreapta $d_{1}$ e perpendiculară pe dreapta $d_{2}$ , notăm $d_{1} ⟂ d_{2}$ . Când două drepte sunt perpendiculare, ele formează de fapt patru unghiuri drepte la punctul de intersecție — toate patru egale cu $90 °$ .

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Două drepte $d_{1}$ și $d_{2}$ se intersectează în punctul $O$ . Unul dintre unghiurile formate la intersecție măsoară $90 °$ . Câte unghiuri drepte se formează la intersecție? Ce putem spune despre cele două drepte?

🔢 Rezolvare

Un unghi format la intersecție = 90 °

Unghiul opus (vertical) este egal: 90 °

Suma unui unghi și a unghiului adiacent = 180 ° \Rightarrow unghiul adiacent = 180 ° - 90 ° = 90 °

Toate 4 unghiuri formate = 90 ° \Rightarrow d_{1} ⟂ d_{2}

✅ Explicație

Cheia e să știi că unghiurile verticale (opus la vârf) sunt întotdeauna egale — deci dacă unul e $90 °$ , și cel din față e $90 °$ . Iar unghiurile adiacente pe o dreaptă sunt suplimentare, adică suma lor e $180 °$ . Dacă unul e $90 °$ , și celălalt e $90 °$ . Practic, un singur unghi drept la intersecție îți garantează că toate patru sunt drepte.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: „Dreptele arată perpendiculare în desen, deci sunt perpendiculare." Mulți elevi se bazează pe cum arată figura și nu verifică unghiul.

✅ Corect: Perpendicularitatea se demonstrează — fie cu raportorul (unghiul e exact $90 °$ ), fie din enunț sau calcule. Ochiul înșală des în geometrie. Nu te baza pe aspect, ci pe valoarea unghiului.

❌ Greșeala #2: Confundarea dreptelor perpendiculare cu dreptele paralele. Unii elevi scriu $d_{1} ∥ d_{2}$ când vor să spună că sunt perpendiculare — sau invers.

✅ Corect: Dreptele paralele nu se intersectează niciodată — sunt ca șinele de tren. Dreptele perpendiculare se intersectează obligatoriu, și exact la $90 °$ . Simbolul $⟂$ seamănă cu un „T" — gândește-te la un stâlp drept pe sol: asta-i perpendicularitate.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Două drepte $d_{1}$ și $d_{2}$ se intersectează. Știi că $d_{1} ⟂ d_{2}$ . Cât măsoară fiecare unghi format la intersecție?

Vezi rezolvarea pas cu pas

d_{1} ⟂ d_{2} \Rightarrow unghiurile formate la intersecție sunt drepte

Număr de unghiuri formate = 4

Fiecare unghi = 90 °

Definiția perpendicularității spune direct că unghiul e $90 °$ . Cum la intersecția a două drepte se formează 4 unghiuri, și toate sunt egale cu $90 °$ , răspunsul vine imediat.

Răspuns: Se formează 4 unghiuri, fiecare de $90 °$ .

Exercițiul 2. Dreptele $d_{1}$ și $d_{2}$ se intersectează în punctul $O$ . Unul dintre unghiurile formate măsoară $3 x - 6$ grade, iar dreptele sunt perpendiculare. Găsește valoarea lui $x$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

d_{1} ⟂ d_{2} \Rightarrow unghiul format = 90 °

3 x - 6 = 90

3 x = 90 + 6

3 x = 96

x = 32

Știind că dreptele sunt perpendiculare, unghiul e obligatoriu $90 °$ . Egalezi expresia cu $90$ și rezolvi ecuația simplu. Verificare: $3 \cdot 32 - 6 = 96 - 6 = 90 °$ . ✓

Răspuns: $x = 32$

Exercițiul 3. Pe dreapta $d$ se află punctul $O$ . Trasezi din $O$ o perpendiculară pe $d$ , numită $d^{'}$ . Ce unghi formează $d^{'}$ cu dreapta $d$ în stânga lui $O$ ? Dar în dreapta lui $O$ ?

Vezi rezolvarea pas cu pas

d^{'} ⟂ d \Rightarrow unghiul dintre d^{'} și d = 90 °

Unghi în stânga lui O = 90 °

Unghi în dreapta lui O = 90 °

Verificare: 90 ° + 90 ° = 180 ° (unghi drept pe o parte a dreptei d)

Dreapta $d^{'}$ ridicată perpendicular din $O$ împarte planul în două unghiuri egale, ambele de $90 °$ , de o parte și de alta. E ca și cum ai ridica un stâlp drept pe un drum drept.

Răspuns: Ambele unghiuri măsoară $90 °$ .

Exercițiul 4. Dreptele $d_{1}$ și $d_{2}$ se intersectează în $O$ și $d_{1} ⟂ d_{2}$ . Dreapta $d_{3}$ trece prin $O$ și este perpendiculară pe $d_{1}$ . Ce relație există între $d_{2}$ și $d_{3}$ ?

Vezi rezolvarea pas cu pas

d_{1} ⟂ d_{2} \Rightarrow unghiul dintre d_{1} și d_{2} = 90 °

d_{3} ⟂ d_{1} \Rightarrow unghiul dintre d_{1} și d_{3} = 90 °

Atât d_{2} cât și d_{3} sunt perpendiculare pe d_{1} în același punct O

\Rightarrow d_{2} ∥ d_{3} (sau d_{2} și d_{3} coincid, adică sunt aceeași dreaptă)

Prin un punct dat de pe o dreaptă se poate duce o singură perpendiculară pe acea dreaptă. Deci $d_{2}$ și $d_{3}$ sunt de fapt aceeași dreaptă — coincid. E o proprietate importantă pe care o folosești des.

Răspuns: $d_{2}$ și $d_{3}$ coincid (sunt aceeași dreaptă).

Exercițiul 5. Provocare: Dreptele $d_{1}$ , $d_{2}$ și $d_{3}$ se intersectează în același punct $O$ . Se știe că $d_{1} ⟂ d_{2}$ și că dreapta $d_{3}$ formează cu $d_{1}$ un unghi de $35 °$ . Cât măsoară unghiul dintre $d_{3}$ și $d_{2}$ ?

Vezi rezolvarea pas cu pas

d_{1} ⟂ d_{2} \Rightarrow unghiul dintre d_{1} și d_{2} = 90 °

Unghiul dintre d_{3} și d_{1} = 35 °

Unghiul dintre d_{3} și d_{2} = 90 ° - 35 ° = 55 °

Verificare: 35 ° + 55 ° = 90 ° ✓

Gândit simplu: $d_{3}$ „taie" unghiul drept format de $d_{1}$ și $d_{2}$ . Dacă ia $35 °$ dintr-o parte, rămân $55 °$ pe cealaltă parte. E ca și cum ai împărți un colț de caiet în două bucăți — suma lor rămâne mereu $90 °$ .

Răspuns: Unghiul dintre $d_{3}$ și $d_{2}$ este $55 °$ .

Întrebări frecvente

Două drepte pot fi în același timp paralele și perpendiculare?

Nu, e imposibil. Dreptele paralele nu se intersectează niciodată — stau la distanță egală una față de alta. Dreptele perpendiculare se intersectează obligatoriu. Nu poți avea ambele condiții simultan. Dacă cineva îți spune asta, ceva e greșit în enunț sau în raționament.

Cum știu dacă două drepte sunt perpendiculare fără raportor?

Din enunț — fie ți se spune direct că $d_{1} ⟂ d_{2}$ , fie ți se dă unghiul format și îl calculezi. În probleme scrise nu te bazezi niciodată pe desen. Dacă enunțul îți dă un unghi de $90 °$ sau folosește simbolul $⟂$ , ai certitudinea perpendicularității. Altfel, nu poți presupune.

Ce e perpendiculara dintr-un punct pe o dreaptă?

E dreapta trasată din acel punct care cade pe dreaptă formând un unghi de $90 °$ . Practic, e cel mai scurt drum de la punct la dreaptă — și asta e important. Distanța de la un punct la o dreaptă se măsoară tocmai pe perpendiculară, nu pe orice altă linie oblică. Vei folosi asta mult la arie și perimetru.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 10. Perpendicularitate. 1) Drepte perpendiculare. 2) Distanța de la un punct la o dreaptă. 3) Mediatoarea.

Exersează cu fișa de lucru: Perpendicularitate — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Unghi la centru: formulă + 5 exerciții rezolvate

11 septembrie 2026

Adverbul actualizare si clasificari: 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Triunghiul echilateral: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună