A close-up view of stationery essentials including pencil, sharpener, eraser, ruler, and compass.

de Echipa Școala Virtuală1 septembrie 2026

Elementele cercului: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

Probabil ai desenat cercuri toată viața — cu o monedă, cu un pahar întors, cu compasul la geometrie. Dar când apare o problemă cu elementele cercului și trebuie să identifici raza, diametrul sau coarda, totul pare dintr-odată mai complicat decât ar trebui. Nu e vina ta. E că nimeni nu ți-a arătat clar ce înseamnă fiecare element și cum îl recunoști într-un enunț. Hai să facem asta acum — simplu, fără jargon inutil, cu exemple pe care le înțelegi din prima. Sau din a doua. Ambele sunt în regulă.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce sunt centrul, raza, diametrul, coarda și arcul unui cerc
Vei ști să identifici fiecare element direct pe figură sau din enunț
Vei înțelege legătura dintre rază și diametru și când o folosești
Vei ști să rezolvi exerciții cu elementele cercului fără să te blochezi

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Ce este cercul și ce înseamnă centrul și raza

Imaginează-ți că arunci o piatră într-un lac liniștit. Se formează cercuri concentrice în jurul punctului unde a căzut piatra. Acel punct e fix — e centrul. Și fiecare undă e la aceeași distanță față de el. Exact asta e cercul: mulțimea tuturor punctelor dintr-un plan care se află la aceeași distanță față de un punct fix numit centru. Distanța asta constantă se numește rază și o notăm cu $r$ . Dacă centrul cercului e punctul $O$ , atunci orice punct $A$ de pe cerc satisface condiția $O A = r$ . Nu aproximativ — exact $r$ . Asta e definiția, și e mai simplă decât pare.

💡 Regula de bază

Cercul cu centrul $O$ și raza $r$ conține toate punctele situate la distanța $r$ față de $O$ . Punctele din interiorul cercului sunt la distanță mai mică decât $r$ , iar cele din exterior — la distanță mai mare.

Diametrul, coarda și arcul — ce sunt și cum le recunoști

Acum că știi ce e raza, restul elementelor vin natural. Diametrul e cel mai lung segment care unește două puncte ale cercului trecând prin centru. Practic, e două raze puse cap la cap: $d = 2 r$ Coarda e orice segment care unește două puncte de pe cerc — dar nu trece neapărat prin centru. Diametrul e un caz special de coardă, cel mai lung posibil. Dacă coarda nu trece prin centru, e mai scurtă decât diametrul — mereu. Și apoi e arcul: porțiunea din cerc cuprinsă între două puncte. Dacă tai un cerc cu o coardă, obții două arce — unul mai mic și unul mai mare. Ambele sunt arce ale aceluiași cerc.

💡 Regula de bază

Diametrul $d$ și raza $r$ sunt legate mereu prin: $d = 2 r$ , deci $r = \frac{d}{2}$ . Orice coardă care nu trece prin centru este mai scurtă decât diametrul. Arcul nu e un segment — e o porțiune curbă din cerc.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Un cerc are diametrul $d = 14 cm$ . Calculează raza cercului. Apoi verifică: un segment de lungime $9 cm$ care unește două puncte de pe cerc poate fi diametru?

🔢 Rezolvare

r = \frac{d}{2}

r = \frac{14}{2}

r = 7 cm

Diametrul cercului este 14 cm, dar segmentul dat are 9 cm < 14 cm \Rightarrow nu poate fi diametru.

✅ Explicație

Primul pas e direct din formulă: împarți diametrul la 2 și obții raza. Al doilea pas e o verificare logică — diametrul e fix, e $2 r = 14$ cm. Orice segment mai scurt de 14 cm nu poate fi diametru, chiar dacă unește două puncte de pe cerc. Poate fi coardă, dar nu diametru.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Elevii confundă raza cu diametrul și folosesc direct numărul din enunț fără să verifice ce li s-a dat. Dacă enunțul spune „diametrul e 10 cm" și tu calculezi circumferința cu $r = 10$ , rezultatul va fi dublu față de cel corect.

✅ Corect: Citește cu atenție ce ți se dă — rază sau diametru. Dacă ai diametrul, primul pas e mereu $r = \frac{d}{2}$ . Abia apoi continui cu restul calculelor.

❌ Greșeala #2: Unii cred că orice segment care trece prin interiorul cercului e diametru. Nu e. Diametrul trece obligatoriu prin centru și are capetele pe cerc. Un segment care trece prin interior dar nu prin centru e coardă, nu diametru.

✅ Corect: Verifică mereu dacă segmentul trece prin centrul $O$ . Dacă da — diametru. Dacă nu — coardă. Diferența contează și în exerciții, și în demonstrații.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Un cerc are raza $r = 5 cm$ . Cât este diametrul său?

Vezi rezolvarea pas cu pas

d = 2 r

d = 2 \times 5

d = 10 cm

Formula e simplă: diametrul e mereu dublul razei. Dacă știi $r$ , înmulțești cu 2 și gata.

Răspuns: $d = 10 cm$

Exercițiul 2. Un cerc are diametrul $d = 18 cm$ . Cât este raza sa?

Vezi rezolvarea pas cu pas

r = \frac{d}{2}

r = \frac{18}{2}

r = 9 cm

De data asta ți se dă diametrul și trebuie să găsești raza — exact invers față de exercițiul 1. Împarți la 2 și obții raza.

Răspuns: $r = 9 cm$

Exercițiul 3. Pe un cerc cu centrul $O$ și raza $r = 6 cm$ sunt marcate punctele $A$ , $B$ și $C$ . Segmentul $A B$ trece prin $O$ și are lungimea $12 cm$ . Segmentul $B C$ are lungimea $8 cm$ . Care dintre segmente este diametru și care este coardă?

Vezi rezolvarea pas cu pas

d = 2 r = 2 \times 6 = 12 cm

A B = 12 cm și trece prin O \Rightarrow A B este diametru

B C = 8 cm, nu trece prin O \Rightarrow B C este coardă

Verifici două condiții pentru diametru: lungimea egală cu $2 r$ și trecerea prin centrul $O$ . $A B$ le îndeplinește pe amândouă. $B C$ unește două puncte de pe cerc dar nu trece prin $O$ — deci e coardă.

Răspuns: $A B$ este diametru; $B C$ este coardă.

Exercițiul 4. Raza unui cerc este $r = 7 cm$ . Un punct $P$ se află la distanța de $5 cm$ față de centrul $O$ , iar un punct $Q$ se află la distanța de $9 cm$ față de $O$ . Care punct este în interiorul cercului și care este în exteriorul cercului?

Vezi rezolvarea pas cu pas

r = 7 cm

O P = 5 cm < 7 cm = r \Rightarrow P este în interiorul cercului

O Q = 9 cm > 7 cm = r \Rightarrow Q este în exteriorul cercului

Regula e simplă: compari distanța față de centru cu raza. Mai mică decât $r$ — înăuntru. Mai mare decât $r$ — în afară. Egală cu $r$ — chiar pe cerc.

Răspuns: $P$ este în interior; $Q$ este în exterior.

Exercițiul 5. Provocare: Suma dintre diametrul unui cerc și raza sa este $24 cm$ . Calculează raza și diametrul cercului.

Vezi rezolvarea pas cu pas

d + r = 24

2 r + r = 24

3 r = 24

r = \frac{24}{3} = 8 cm

d = 2 r = 2 \times 8 = 16 cm

Trucul e să înlocuiești $d$ cu $2 r$ — pentru că știi că $d = 2 r$ . Dintr-odată ai o ecuație cu o singură necunoscută și o rezolvi simplu. Verificare rapidă: $16 + 8 = 24$ . ✓

Răspuns: $r = 8 cm$ , $d = 16 cm$

Întrebări frecvente

Care e diferența dintre cerc și disc?

Cercul e doar linia curbă — mulțimea punctelor de pe contur. Discul e toată suprafața inclusă înăuntru, cu tot cu cerc. Practic, dacă colorezi un cerc complet, obții un disc. La exerciții, când se spune „aria cercului", se înțelege de obicei aria discului — adică $π r^{2}$ .

Poate o coardă să fie mai lungă decât diametrul?

Nu. Diametrul e cea mai lungă coardă posibilă a unui cerc — trece prin centru și are capetele pe cerc. Orice altă coardă e mai scurtă. Dacă găsești un segment cu capetele pe cerc care e mai lung decât $2 r$ , ai greșit ceva în calcul — merită să recalculezi.

Ce înseamnă „arc de cerc" și cum îl deosebesc de coardă?

Coarda e segmentul drept care unește două puncte de pe cerc — o linie dreaptă. Arcul e porțiunea curbă din cerc cuprinsă între aceleași două puncte — merge pe conturul cercului, nu taie prin interior. Simplu: coarda e scurtătura, arcul e drumul pe cerc.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 14. Cercul. Elemente ale cercului. Centru. Coardă. Diametru. Arc..

Exersează cu fișa de lucru: Cercul — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Unghi la centru: formulă + 5 exerciții rezolvate

11 septembrie 2026

Adverbul actualizare si clasificari: 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Triunghiul echilateral: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună