Close-up of hand writing complex math equations on a chalkboard in a classroom setting.

de Echipa Școala Virtuală2 septembrie 2026

Inecuații cu modul: formulă + 5 exerciții rezolvate

Q: Ce fac dacă a este negativ în |expresie|<a ?

Dacă a e negativ sau zero, inecuația |expresie|<a nu are nicio soluție — pentru că modulul e mereu mai mare sau egal cu zero, deci niciodată mai mic decât un număr negativ. Mulțimea soluțiilor e vidă. Nu e o greșeală de calcul, e pur și simplu o situație fără soluție reală.

Q: De ce la > obțin două intervale și la < obțin unul singur?

Gândește-te pe axă: |x|<5 înseamnă că x e aproape de zero — adică între −5 și 5 , un singur interval compact. Dar |x|>5 înseamnă că x e departe de zero — și „departe" poate fi spre stânga sau spre dreapta. De aceea obții două intervale separate, câte unul în fiecare direcție.

Modulul unui număr pare simplu la prima vedere — e mereu pozitiv, gata. Dar când apare într-o inecuație, lucrurile devin brusc confuze. Brusc ai două cazuri, o soluție care e un interval, și nu mai știi exact de ce faci ce faci. Inecuațiile cu modul îi încurcă pe aproape toți la început, și nu pentru că ar fi imposibile, ci pentru că nimeni nu le explică din interior. Îți arăt cum gândesc eu când văd $| 2 x - 1 | < 5$ pe foaie — nu regula uscată, ci logica din spatele ei. Dacă înțelegi de ce funcționează, nu mai trebuie să memorezi nimic. Pur și simplu știi.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă modulul și de ce apare în inecuații
Vei ști să transformi o inecuație cu modul în două inecuații simple
Vei recunoaște diferența dintre cazul cu < și cazul cu >
Vei rezolva 5 exerciții pas cu pas, de la simplu la provocare

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Ce înseamnă, de fapt, modulul unui număr

Hai să zicem că stai pe un culoar de 10 metri. Poți merge 3 pași la stânga sau 3 pași la dreapta — în ambele cazuri ai parcurs 3 pași. Nu contează direcția. Asta e modulul: distanța față de zero, fără semn. Practic, $| 3 | = 3$ și $| - 3 | = 3$ . Același rezultat. Modulul ignoră complet dacă numărul e negativ sau pozitiv — ia doar „cât de departe e față de zero". Și tocmai asta face inecuațiile cu modul interesante: când scriem $| x | < 5$ , întrebăm „ce numere sunt la mai puțin de 5 distanță față de zero?" Răspunsul e tot intervalul $- 5 < x < 5$ . Nu un singur număr, ci o mulțime întreagă. Și de acolo pornește toată povestea.

💡 Regula de bază

Dacă ai $| e x p r e s i e | < a$ (cu $a > 0$ ), înseamnă că $- a < e x p r e s i e < a$ — un singur interval. Dacă ai $| e x p r e s i e | > a$ , înseamnă că $e x p r e s i e < - a$ sau $e x p r e s i e > a$ — două intervale separate. Reține direcțiile: < strânge, > desfășoară.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Rezolvă inecuația $| 2 x - 1 | < 5$ .

🔢 Rezolvare

| 2 x - 1 | < 5

- 5 < 2 x - 1 < 5

- 5 + 1 < 2 x < 5 + 1

- 4 < 2 x < 6

- 2 < x < 3

✅ Explicație

Pentru că inecuația are semnul <, transform modulul într-un interval dublu: expresia din modul trebuie să fie între $- 5$ și $5$ . De acolo rezolv ca o inecuație normală — adun 1 în tot, apoi împart prin 2. Rezultatul e un interval deschis: $x$ poate fi orice număr strict între $- 2$ și $3$ .

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Când văd $| e x p r e s i e | > a$ , elevii scriu tot un interval: $- a < e x p r e s i e < a$ , ca și cum ar fi <.

✅ Corect: Dacă semnul e >, soluția are DOUĂ ramuri separate: $e x p r e s i e < - a$ sau $e x p r e s i e > a$ . Gândește-te la dreapta numerelor — valorile care depășesc distanța $a$ față de zero sunt în ambele direcții, nu în mijloc.

❌ Greșeala #2: Când împart sau înmulțesc cu un număr negativ, elevii uită să întoarcă semnul inecuației.

✅ Corect: Dacă ajungi la $- 2 x < 6$ și împarți prin $- 2$ , semnul < devine >. Deci $x > - 3$ , nu $x < - 3$ . Această regulă e valabilă la orice inecuație, nu doar la cele cu modul — dar aici e cel mai ușor să o uiți.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Rezolvă inecuația $| x | \leq 4$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

| x | \leq 4

- 4 \leq x \leq 4

Modulul e chiar $x$ , fără altă expresie. Aplicăm direct regula pentru ≤: $x$ trebuie să fie la cel mult 4 distanță față de zero, în ambele direcții.

Răspuns: $x \in [- 4, 4]$

Exercițiul 2. Rezolvă inecuația $| x + 3 | < 7$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

| x + 3 | < 7

- 7 < x + 3 < 7

- 7 - 3 < x < 7 - 3

- 10 < x < 4

Am „scos" modulul scriind inegalitatea dublă, apoi am scăzut 3 din toate cele trei membre. Simplu și direct.

Răspuns: $x \in (- 10, 4)$

Exercițiul 3. Rezolvă inecuația $| 3 x - 6 | > 9$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

| 3 x - 6 | > 9

3 x - 6 < - 9 sau 3 x - 6 > 9

3 x < - 9 + 6 sau 3 x > 9 + 6

3 x < - 3 sau 3 x > 15

x < - 1 sau x > 5

Semnul > înseamnă două ramuri separate. Rezolv fiecare ramură independent și obțin două intervale deschise care nu se ating.

Răspuns: $x \in (- \infty, - 1) \cup (5, + \infty)$

Exercițiul 4. Rezolvă inecuația $| 2 x + 4 | \leq 10$ și reprezintă soluția pe axa numerelor.

Vezi rezolvarea pas cu pas

| 2 x + 4 | \leq 10

- 10 \leq 2 x + 4 \leq 10

- 10 - 4 \leq 2 x \leq 10 - 4

- 14 \leq 2 x \leq 6

- 7 \leq x \leq 3

Scad 4 din toate trei membre, apoi împart prin 2 — pozitiv, deci semnele rămân. Pe axă, marchezi $- 7$ și $3$ cu puncte pline (pentru că e ≤) și colorezi între ele.

Răspuns: $x \in [- 7, 3]$

Exercițiul 5. Provocare: Rezolvă inecuația $| 5 - 2 x | \geq 3$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

| 5 - 2 x | \geq 3

5 - 2 x \leq - 3 sau 5 - 2 x \geq 3

- 2 x \leq - 3 - 5 sau - 2 x \geq 3 - 5

- 2 x \leq - 8 sau - 2 x \geq - 2

x \geq 4 sau x \leq 1

Atenție mare: am împărțit prin $- 2$ în ambele ramuri, deci ambele semne s-au întors. Asta e capcana acestui exercițiu — dacă uiți să întorci, obții soluția inversată. Verifică: pentru $x = 0$ (care e ≤ 1), $| 5 - 0 | = 5 \geq 3$ . Corect. Pentru $x = 2$ (care nu e în soluție), $| 5 - 4 | = 1 \geq̸ 3$ . Perfect.

Răspuns: $x \in (- \infty, 1] \cup [4, + \infty)$

Întrebări frecvente

Ce fac dacă a este negativ în |expresie|<a ?

Dacă $a$ e negativ sau zero, inecuația $| e x p r e s i e | < a$ nu are nicio soluție — pentru că modulul e mereu mai mare sau egal cu zero, deci niciodată mai mic decât un număr negativ. Mulțimea soluțiilor e vidă. Nu e o greșeală de calcul, e pur și simplu o situație fără soluție reală.

De ce la > obțin două intervale și la < obțin unul singur?

Gândește-te pe axă: $| x | < 5$ înseamnă că $x$ e aproape de zero — adică între $- 5$ și $5$ , un singur interval compact. Dar $| x | > 5$ înseamnă că $x$ e departe de zero — și „departe" poate fi spre stânga sau spre dreapta. De aceea obții două intervale separate, câte unul în fiecare direcție.

Cum verific dacă soluția mea e corectă?

Ia un număr din intervalul obținut și înlocuiește-l în inecuația originală. Dacă inecuația e adevărată, ești pe drumul bun. Apoi ia un număr din afara intervalului și verifică că inecuația e falsă. Dacă ambele verificări ies cum trebuie, soluția e corectă. Eu fac asta de fiecare dată — nu e semn de nesiguranță, e semn de seriozitate.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 20. Inecuații cu modul..

Exersează cu fișa de lucru: Inecuații cu modul — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Unghi la centru: formulă + 5 exerciții rezolvate

11 septembrie 2026

Adverbul actualizare si clasificari: 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Triunghiul echilateral: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună