Vibrant orange rulers and geometric tools on an orange background with black and white cards.

de Echipa Școala Virtuală3 septembrie 2026

Mediatoarele laturilor unui triunghi: 5 exerciții rezolvate

Știi momentul ăla când desenezi un triunghi și profesorul îți spune să găsești „mediatoarea" — și tu te uiți la foaie ca la un text în chineză? Da, știu exact senzația. Mediatoarele laturilor unui triunghi sună complicat, dar de fapt lucrezi cu ceva ce ai mai văzut: drepte perpendiculare și puncte de mijloc. Adică nimic nou, doar pus altfel împreună. Ideea de bază e asta: iei o latură a triunghiului, găsești mijlocul ei, tragi o dreaptă perpendiculară prin acel mijloc — și gata, ai o mediatoare. Simplu? Nu chiar la prima vedere. Dar cu câteva exemple clare, o să-ți dai seama că nu e nimic de speriat.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce este mediatoarea unei laturi și cum o construiești
Vei ști să identifici centrul cercului circumscris unui triunghi
Vei înțelege proprietatea esențială a punctelor de pe mediatoare
Vei ști să rezolvi exerciții cu mediatoare pas cu pas, fără să te blochezi

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Ce este, de fapt, mediatoarea unei laturi?

Hai să gândim împreună. Ai un segment — să zicem latura AB a unui triunghi. Mediatoarea acestei laturi e o dreaptă care face două lucruri simultan: trece prin mijlocul segmentului AB și este perpendiculară pe el. Adică îl taie exact în două și îl taie în unghi drept. Asta-i tot. Nu e o formulă complicată, nu e un concept misterios — e o dreaptă cu două condiții clare. Și acum vine partea frumoasă: orice punct care se află pe mediatoarea unui segment este egal depărtat de capetele acelui segment. Dacă ești pe mediatoarea lui AB, distanța ta până la A e exact egală cu distanța ta până la B. Asta-i proprietatea cheie pe care o vei folosi în aproape orice exercițiu.

💡 Regula de bază

Mediatoarea laturii $A B$ este dreapta perpendiculară pe $A B$ dusă prin mijlocul $M$ al lui $A B$ . Orice punct $P$ de pe mediatoare satisface $P A = P B$ . Cele trei mediatoare ale unui triunghi se intersectează într-un singur punct numit circumcentru, notat de obicei $O$ — și acesta este centrul cercului circumscris triunghiului.

Cele trei mediatoare și circumcentrul

Fiecare triunghi are trei laturi, deci are și trei mediatoare. Ce se întâmplă dacă le desenezi pe toate trei? Se intersectează toate trei într-un singur punct. Nu e o coincidență — e o proprietate geometrică demonstrată. Acel punct se numește circumcentru și este egal depărtat de toate cele trei vârfuri ale triunghiului. Asta înseamnă că poți trasa un cerc cu centrul în circumcentru care trece exact prin cele trei vârfuri — cercul circumscris triunghiului. Acum, un detaliu important pe care toată lumea îl uită: circumcentrul nu stă mereu în interiorul triunghiului. La un triunghi ascuțitunghic, stă înăuntru. La unul dreptunghic, stă chiar pe ipotenuză. La unul obtuzunghic, iese în afara triunghiului. Știu, pare ciudat — dar are sens când te gândești la formele respective.

💡 Proprietatea circumcentrului

Dacă $O$ este circumcentrul triunghiului $A B C$ , atunci $O A = O B = O C = R$ , unde $R$ este raza cercului circumscris. Această distanță egală este cheia cu care rezolvi majoritatea problemelor cu mediatoare.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Punctul $P$ se află pe mediatoarea laturii $A B$ a triunghiului $A B C$ , unde $A B = 10$ cm. Dacă $P A = 13$ cm, cât este $P B$ ? Justifică.

🔢 Rezolvare

P se află pe mediatoarea lui A B

\Rightarrow P A = P B (proprietatea mediatoarei)

P A = 13 cm

\Rightarrow P B = 13 cm

✅ Explicație

Dacă un punct stă pe mediatoarea unui segment, e egal depărtat de capetele segmentului — asta e definiția proprietății. Nu ai nevoie de calcule complicate. Știi $P A$ , deci știi automat și $P B$ . Lungimea lui $A B$ era o informație inclusă intenționat ca să te distragă — nu o folosești aici.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: Confundarea mediatoarei cu înălțimea. Mulți elevi le amestecă pentru că ambele sunt perpendiculare pe o latură. Dar înălțimea trece prin vârf, nu prin mijlocul laturii.

✅ Corect: Mediatoarea trece prin mijlocul laturii și este perpendiculară pe ea. Înălțimea trece prin vârful opus laturii și este perpendiculară pe ea. Două condiții diferite, două drepte diferite.

❌ Greșeala #2: Să crezi că circumcentrul e mereu în interiorul triunghiului. Greșeala asta o face aproape toată lumea la început — și eu am crezut același lucru prima dată.

✅ Corect: Circumcentrul este în interior doar la triunghiurile ascuțitunghice. La cel dreptunghic e pe mijlocul ipotenuzei, iar la cel obtuzunghic iese complet în afara triunghiului.

❌ Greșeala #3: Să confunzi mediatoarea cu bisectoarea. Bisectoarea împarte un unghi în două părți egale. Mediatoarea împarte un segment în două părți egale și este perpendiculară pe el.

✅ Corect: Reține simplu — mediatoarea e despre laturi (segmente), bisectoarea e despre unghiuri. Sunt concepte complet diferite, chiar dacă ambele „împart ceva în două".

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Punctul $M$ se află pe mediatoarea segmentului $C D$ , unde $C$ și $D$ sunt două puncte din plan. Dacă $M C = 7$ cm, cât este $M D$ ?

Vezi rezolvarea pas cu pas

M este pe mediatoarea lui C D

\Rightarrow M C = M D (proprietatea mediatoarei)

M C = 7 cm

\Rightarrow M D = 7 cm

Proprietatea de bază a mediatoarei: orice punct de pe ea e egal depărtat de cele două capete ale segmentului. Deci răspunsul vine direct din definiție.

Răspuns: $M D = 7$ cm

Exercițiul 2. Fie triunghiul $A B C$ cu $A B = 8$ cm. Mediatoarea laturii $A B$ trece prin punctul $P$ . Știind că $P A = 5$ cm, verifică dacă triunghiul $P A B$ este isoscel.

Vezi rezolvarea pas cu pas

P este pe mediatoarea lui A B \Rightarrow P A = P B

P A = 5 cm \Rightarrow P B = 5 cm

Triunghiul P A B are P A = P B = 5 cm, A B = 8 cm

\Rightarrow Triunghiul P A B este isoscel cu P A = P B

De câte ori un punct stă pe mediatoarea unei laturi, el este egal depărtat de capetele ei — adică formează automat un triunghi isoscel cu cele două capete. Nu e coincidență, e proprietatea mediatoarei în acțiune.

Răspuns: Da, triunghiul $P A B$ este isoscel cu $P A = P B = 5$ cm.

Exercițiul 3. Circumcentrul triunghiului $A B C$ este punctul $O$ . Știind că $O A = 6$ cm, cât sunt $O B$ și $O C$ ? Ce reprezintă această distanță față de cercul circumscris?

Vezi rezolvarea pas cu pas

O este circumcentrul \Rightarrow O A = O B = O C

O A = 6 cm

\Rightarrow O B = 6 cm, O C = 6 cm

R = O A = O B = O C = 6 cm

Circumcentrul este egal depărtat de toate trei vârfurile — de aia se numește centrul cercului circumscris. Distanța de la $O$ la oricare vârf este exact raza $R$ a cercului circumscris.

Răspuns: $O B = O C = 6$ cm; această distanță reprezintă raza cercului circumscris, $R = 6$ cm.

Exercițiul 4. Punctul $P$ are proprietatea că $P A = P B = P C$ , unde $A$ , $B$ , $C$ sunt vârfurile unui triunghi. Ce putem spune despre $P$ față de triunghiul $A B C$ ?

Vezi rezolvarea pas cu pas

P A = P B \Rightarrow P se află pe mediatoarea lui A B

P B = P C \Rightarrow P se află pe mediatoarea lui B C

P A = P C \Rightarrow P se află pe mediatoarea lui A C

\Rightarrow P se află pe toate trei mediatoarele \Rightarrow P este circumcentrul triunghiului A B C

Uite cum funcționează: dacă un punct e egal depărtat de capetele unui segment, e pe mediatoarea lui. Aplicând asta pentru toate trei laturile, $P$ iese fix la intersecția celor trei mediatoare — adică circumcentrul. Frumos, nu?

Răspuns: $P$ este circumcentrul triunghiului $A B C$ .

Exercițiul 5. Provocare: Triunghiul $A B C$ este dreptunghic în $A$ , cu $B C = 10$ cm. Demonstrează că circumcentrul triunghiului este mijlocul ipotenuzei $B C$ și calculează distanța de la circumcentru la vârful $A$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

Fie O mijlocul ipotenuzei B C \Rightarrow O B = O C = \frac{B C}{2} = \frac{10}{2} = 5 cm

Proprietate: în triunghi dreptunghic, mijlocul ipotenuzei este egal depărtat de cele trei vârfuri

\Rightarrow O A = O B = O C = 5 cm

\Rightarrow O este circumcentrul, iar R = 5 cm

La un triunghi dreptunghic, circumcentrul se află pe ipotenuză — mai exact, chiar în mijlocul ei. Asta înseamnă că raza cercului circumscris este jumătate din ipotenuză. E o proprietate super utilă, rețin-o.

Răspuns: Circumcentrul este mijlocul lui $B C$ , iar $O A = 5$ cm.

Întrebări frecvente

Mediatoarea trece neapărat prin vârful triunghiului?

Nu, și asta e o confuzie frecventă. Mediatoarea trece prin mijlocul laturii, nu prin vârf. Dreapta care trece prin vârf și este perpendiculară pe latura opusă se numește înălțime — e un concept complet diferit. Mediatoarea nu are nicio obligație să treacă prin vreun vârf al triunghiului.

De ce circumcentrul iese uneori în afara triunghiului?

Practic, depinde de forma triunghiului. La un triunghi obtuzunghic, unghiul obtuz „împinge" circumcentrul în afară. Poți să-ți imaginezi că cercul circumscris e atât de mare față de triunghi încât centrul lui nu mai încape înăuntru. La triunghiurile ascuțitunghice, toate unghiurile sunt mici și circumcentrul rămâne în interior.

Cum știu dacă un punct este sau nu pe mediatoarea unui segment?

Simplu: măsori distanța de la acel punct la fiecare capăt al segmentului. Dacă distanțele sunt egale, punctul e pe mediatoare — asta e definiția. Dacă diferă, nu e pe mediatoare. Nu ai nevoie de niciun alt calcul, doar verifici egalitatea celor două distanțe.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 4. Mediatoarele laturilor unui triunghi..

Exersează cu fișa de lucru: Mediatoarele laturilor unui triunghi — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Unghi la centru: formulă + 5 exerciții rezolvate

11 septembrie 2026

Adverbul actualizare si clasificari: 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Triunghiul echilateral: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună