Young student writing math equations in a notebook at school desk.

de Echipa Școala Virtuală4 septembrie 2026

Operații cu mulțimi: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

Q: Dacă două mulțimi nu au niciun element comun, ce e intersecția lor?

E mulțimea vidă, scrisă ∅ sau {} . Nu e o greșeală — înseamnă pur și simplu că nu există niciun element care să fie în ambele mulțimi în același timp. De exemplu, {1,3,5}∩{2,4,6}=∅ . Se mai spune că mulțimile sunt disjuncte.

Q: Contează ordinea în care scriu elementele unei mulțimi?

Nu contează deloc. {1,2,3} și {3,1,2} sunt exact aceeași mulțime. O mulțime nu e o listă ordonată — e un grup de elemente distincte, și atât. Poți scrie elementele în orice ordine și răspunsul e corect.

Ai deschis caietul și ai văzut ceva de genul $A \cup B$ sau $A \cap B$ și te-ai întrebat: ce înseamnă literele astea și de ce nu scrie matematică normală? Mulțimile par un limbaj ciudat la prima vedere — cu acolade, cu simboluri, cu tot felul de semne pe care nu le-ai mai văzut. De fapt, operațiile cu mulțimi descriu ceva extrem de simplu: cum combini sau cum compari grupuri de lucruri. Gândește-te la clasa ta de elevi. Unii joacă fotbal. Alții ascultă muzică. Câțiva fac amândouă. Ei bine, tocmai ai imaginat reuniunea și intersecția a două mulțimi — fără să știi că le și calculezi. Asta-i tot ce vom face aici: să punem nume matematice unor lucruri pe care le înțelegi deja.

📌 Ce vei învăța

Vei înțelege ce înseamnă reuniunea, intersecția și diferența a două mulțimi
Vei ști să calculezi fiecare operație pas cu pas, cu orice mulțimi date
Vei recunoaște cele mai frecvente greșeli și vei ști cum să le eviți
Vei rezolva 5 exerciții complete, de la simplu la avansat

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Ce sunt operațiile cu mulțimi — înainte de orice formulă

Să zicem că ai două grupuri de prieteni. Grupul A vine cu tine la film: $A = {A n a, M i h a i, R a d u}$ . Grupul B vine cu tine la pizza: $B = {R a d u, E l e n a, M i h a i}$ . Acum te întrebi: cine vine la cel puțin una dintre activități? Sau: cine vine la amândouă? Prima întrebare e reuniunea — toți cei din A și din B la un loc. A doua e intersecția — doar cei care apar în ambele grupuri. Simplu, nu? Practic, operațiile cu mulțimi sunt un mod de a răspunde la întrebări de tipul „cine/ce face parte din ambele grupuri" sau „cine/ce e în cel puțin unul". Diferența merge și mai departe: cine e în A, dar nu și în B? Astea sunt cele trei operații de bază pe care trebuie să le cunoști.

💡 Regula de bază

Reuniunea $A \cup B$ conține toate elementele din A sau din B (sau din amândouă). Intersecția $A \cap B$ conține doar elementele care se află în ambele mulțimi. Diferența $A ∖ B$ conține elementele din A care nu se găsesc în B. Un element nu se scrie de două ori, chiar dacă apare în ambele mulțimi.

Exemplu rezolvat pas cu pas

📝 Enunț

Se dau mulțimile $A = {1, 2, 3, 4, 5}$ și $B = {3, 4, 5, 6, 7}$ . Calculează $A \cup B$ , $A \cap B$ și $A ∖ B$ .

🔢 Rezolvare

A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

A \cap B = {3, 4, 5}

A ∖ B = {1, 2}

✅ Explicație

Pentru reuniune, am adunat toate elementele din ambele mulțimi — dar 3, 4, 5 apar în amândouă, deci le-am scris o singură dată. Pentru intersecție, am căutat doar ce au în comun: 3, 4 și 5. Pentru diferență, am luat elementele din A și le-am eliminat pe cele care apar și în B — au rămas 1 și 2. Ăsta e tot secretul: compari element cu element.

Greșeli frecvente

❌ Greșeala #1: La reuniune, elevii scriu elementele comune de două ori — adică $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 7}$ . Pare logic să „aduni tot", dar o mulțime nu are elemente repetate.

✅ Corect: Fiecare element apare o singură dată în mulțime, indiferent de câte ori se găsește în mulțimile originale. Dacă 5 e în A și în B, în reuniune apare o singură dată.

❌ Greșeala #2: La diferența $A ∖ B$ , mulți elevi confundă ordinea și calculează de fapt $B ∖ A$ . Adică scot din B ce e în A, în loc să scoată din A ce e în B.

✅ Corect: $A ∖ B$ înseamnă „din A scot ce e și în B". Citești de la stânga la dreapta: prima mulțime e cea din care pleci, a doua e „filtrul". $A ∖ B \neq B ∖ A$ — ordinea contează.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi să rezolvi singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

Exercițiul 1. Se dau $A = {a, b, c}$ și $B = {c, d, e}$ . Calculează $A \cup B$ și $A \cap B$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

A \cup B = {a, b, c, d, e}

A \cap B = {c}

La reuniune am pus toate elementele, fără să repet pe c. La intersecție, am căutat ce apare în amândouă — doar c trece testul.

Răspuns: $A \cup B = {a, b, c, d, e}$ , $A \cap B = {c}$

Exercițiul 2. Se dau $A = {1, 3, 5, 7, 9}$ și $B = {1, 2, 3, 4, 5}$ . Calculează $A ∖ B$ și $B ∖ A$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

A ∖ B = {7, 9}

B ∖ A = {2, 4}

Din A elimin ce e și în B — adică 1, 3, 5. Rămân 7 și 9. Din B elimin ce e și în A — adică 1, 3, 5. Rămân 2 și 4. Observi că rezultatele sunt complet diferite — tocmai de aceea ordinea contează.

Răspuns: $A ∖ B = {7, 9}$ , $B ∖ A = {2, 4}$

Exercițiul 3. Se dau $A = {2, 4, 6, 8, 10}$ și $B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ . Calculează $A \cup B$ , $A \cap B$ și $A ∖ B$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}

A \cap B = {2, 4, 6}

A ∖ B = {8, 10}

La reuniune am unit tot fără repetiții — 2, 4, 6 apar în ambele, dar le-am scris o singură dată. Intersecția e formată fix din 2, 4, 6 — cele care sunt în ambele. Din A scot 2, 4, 6 pentru că apar și în B; rămân 8 și 10.

Răspuns: $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10}$ , $A \cap B = {2, 4, 6}$ , $A ∖ B = {8, 10}$

Exercițiul 4. Se dau $A = {x | x număr natural par, x \leq 10}$ și $B = {x | x număr natural, 4 \leq x \leq 8}$ . Scrie explicit cele două mulțimi, apoi calculează $A \cap B$ și $B ∖ A$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

B = {4, 5, 6, 7, 8}

A \cap B = {4, 6, 8}

B ∖ A = {5, 7}

Primul pas — și cel mai important — e să scrii explicit mulțimile din condiție. Abia după aia operezi. Intersecția conține ce e par și în același timp între 4 și 8: 4, 6, 8. Din B scot ce e și în A; rămân 5 și 7, care sunt impare.

Răspuns: $A \cap B = {4, 6, 8}$ , $B ∖ A = {5, 7}$

Exercițiul 5. Provocare: Se dau $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}$ , $B = {2, 4, 6, 8}$ și $C = {1, 3, 5, 7}$ . Calculează $(A \cup B) \cap C$ și $A ∖ (B \cup C)$ .

Vezi rezolvarea pas cu pas

A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}

(A \cup B) \cap C = {1, 3, 5}

B \cup C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

A ∖ (B \cup C) = {} = \emptyset

Când ai paranteze, rezolvi de dinăuntru spre afară — exact ca la calculul numeric. $A \cup B$ mai întâi, apoi intersectezi cu C. La a doua expresie, $B \cup C$ conține toate numerele din A (1, 2, 3, 4, 5, 6), deci din A nu rămâne nimic. Rezultatul e mulțimea vidă $\emptyset$ — și asta e un rezultat perfect valid, nu o greșeală.

Răspuns: $(A \cup B) \cap C = {1, 3, 5}$ , $A ∖ (B \cup C) = \emptyset$

Întrebări frecvente

Dacă două mulțimi nu au niciun element comun, ce e intersecția lor?

E mulțimea vidă, scrisă $\emptyset$ sau ${}$ . Nu e o greșeală — înseamnă pur și simplu că nu există niciun element care să fie în ambele mulțimi în același timp. De exemplu, ${1, 3, 5} \cap {2, 4, 6} = \emptyset$ . Se mai spune că mulțimile sunt disjuncte.

Contează ordinea în care scriu elementele unei mulțimi?

Nu contează deloc. ${1, 2, 3}$ și ${3, 1, 2}$ sunt exact aceeași mulțime. O mulțime nu e o listă ordonată — e un grup de elemente distincte, și atât. Poți scrie elementele în orice ordine și răspunsul e corect.

Pot face operații cu trei mulțimi deodată?

Da, și e mai simplu decât pare. Rezolvi pas cu pas, cu paranteze — ca la calculul obișnuit. Dacă ai $(A \cup B) \cap C$ , calculezi mai întâi $A \cup B$ , obții o mulțime nouă, apoi faci intersecția ei cu C. Niciodată nu sari pașii — mai bine scrii mulțimea intermediară explicit.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 4. Operații cu mulțimi..

Exersează cu fișa de lucru: Operații cu mulțimi — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Articole recente

Unghi la centru: formulă + 5 exerciții rezolvate

11 septembrie 2026

Adverbul actualizare si clasificari: 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Triunghiul echilateral: proprietăți + 5 exerciții rezolvate

10 septembrie 2026

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună