PARALELOGRAMUL: proprietăți, diagonale, perimetru și arie - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Echipa Școala Virtuală · materie predată pe video de prof. Alexandra Pavel · actualizat 23 septembrie 2026

Paralelogramul este patrulaterul cu laturile opuse paralele; laturile opuse sunt egale, iar diagonalele se înjumătățesc. Mai jos găsești proprietățile, formulele cu figură și 8 exerciții rezolvate pas cu pas, de la ușor la greu.

Paralelogramul: definiție, proprietăți și formule

Definiție. Paralelogramul este patrulaterul convex care are laturile opuse paralele: $A B ∥ C D$ și $A D ∥ B C$ .

Liniuțele arată că

O

este mijlocul ambelor diagonale:

A O = O C

și

B O = O D

Proprietăți. Într-un paralelogram $A B C D$ :

laturile opuse sunt congruente: $A B = C D$ , $A D = B C$ ;
unghiurile opuse sunt congruente: $∠ A \equiv ∠ C$ , $∠ B \equiv ∠ D$ ;
două unghiuri alăturate au suma $180^{\circ}$ ;
diagonalele se înjumătățesc: dacă $A C \cap B D = {O}$ , atunci $A O = O C$ și $B O = O D$ .

Formule. Pentru laturile $a$ și $b$ și înălțimea $h$ dusă pe latura $a$ :

$P = 2 (a + b),$ $A = a \cdot h$

Fiecare diagonală împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente, deci fiecare are aria jumătate din aria paralelogramului.

Cum arăți că un patrulater convex este paralelogram: laturile opuse sunt congruente două câte două, sau două laturi opuse sunt paralele și congruente, sau unghiurile opuse sunt congruente, sau diagonalele se înjumătățesc.

Exerciții rezolvate

Încearcă întâi singur, apoi deschide rezolvarea și compară pașii.

EXERCIȚIUL 1Perimetrul paralelogramuluiușor

Paralelogramul $A B C D$ are $A B = 9$ cm și $B C = 5$ cm. Calculează perimetrul lui.

Rezolvare pas cu pas

Laturile opuse sunt egale: $C D = A B = 9$ cm și $A D = B C = 5$ cm.
$P =$ $2 (A B + B C) =$ $2 (9 + 5) =$ $2 \cdot 14 =$ $28$ cm.

Răspuns: $P = 28$ cm

EXERCIȚIUL 2Unghiurile paralelogramuluiușor

În paralelogramul $A B C D$ , $m (∠ A) =$ $65^{\circ}$ . Calculează măsurile celorlalte unghiuri.

Rezolvare pas cu pas

Unghiurile alăturate au suma $180^{\circ}$ : $m (∠ B) =$ $180^{\circ} - 65^{\circ} =$ $115^{\circ}$ .
Unghiurile opuse sunt congruente: $m (∠ C) =$ $m (∠ A) =$ $65^{\circ}$ și $m (∠ D) =$ $m (∠ B) =$ $115^{\circ}$ .
Verificare: $65^{\circ} +$ $115^{\circ} +$ $65^{\circ} +$ $115^{\circ} =$ $360^{\circ}$ .

Răspuns: $m (∠ B) =$ $m (∠ D) =$ $115^{\circ}$ , $m (∠ C) =$ $65^{\circ}$

EXERCIȚIUL 3Diagonalele se înjumătățescmediu

Paralelogramul $A B C D$ are diagonalele $A C = 18$ cm și $B D = 12$ cm, care se intersectează în $O$ , și latura $A B = 10$ cm. Calculează perimetrele triunghiurilor $A O B$ și $C O D$ .

Rezolvare pas cu pas

Diagonalele se înjumătățesc: $A O = O C = 18 : 2 = 9$ cm și $B O = O D = 12 : 2 = 6$ cm.
$P_{A O B} =$ $A O + O B + A B =$ $9 + 6 + 10 =$ $25$ cm.
Laturile opuse sunt egale, deci $C D = A B = 10$ cm și $P_{C O D} =$ $9 + 6 + 10 =$ $25$ cm.

Răspuns: Ambele perimetre sunt $25$ cm

EXERCIȚIUL 4Laturile din perimetrumediu

Paralelogramul $A B C D$ are perimetrul de $50$ cm, iar latura $A B$ este cu $5$ cm mai mare decât latura $B C$ . Calculează $A B$ și $B C$ .

Rezolvare pas cu pas

$P = 2 (A B + B C) = 50$ , deci $A B + B C = 25$ cm.
Scriem $A B = B C + 5$ : $B C + 5 + B C = 25$ , adică $2 \cdot B C = 20$ .
$B C = 10$ cm și $A B = 10 + 5 = 15$ cm.

Răspuns: $A B = 15$ cm, $B C = 10$ cm

EXERCIȚIUL 5Aria și a doua înălțimemediu

Paralelogramul $A B C D$ are $A B = 20$ cm și $A D = 25$ cm. Înălțimea $D E$ , cu $E \in A B$ , are $24$ cm. Calculează aria paralelogramului și înălțimea $B F$ , cu $F \in A D$ .

Rezolvare pas cu pas

Aria este latura înmulțită cu înălțimea dusă pe ea: $A =$ $A B \cdot D E =$ $20 \cdot 24 =$ $480$ cm².
Aceeași arie se scrie și cu latura $A D$ : $A = A D \cdot B F$ , deci $25 \cdot B F = 480$ .
$B F =$ $480 : 25 =$ $19,2$ cm.

Răspuns: $A = 480$ cm², $B F = 19,2$ cm

EXERCIȚIUL 6Bisectoarea unui unghimediu

Paralelogramul $A B C D$ are $A B = 10$ cm și $A D = 6$ cm. Bisectoarea unghiului $A$ intersectează latura $C D$ în punctul $E$ . Calculează $D E$ și $E C$ .

Rezolvare pas cu pas

$A E$ este bisectoare, deci $∠ D A E \equiv ∠ E A B$ .
$A B ∥ C D$ , iar $A E$ este secantă, deci $∠ E A B \equiv ∠ A E D$ (unghiuri alterne interne).
Rezultă $∠ D A E \equiv ∠ A E D$ , deci triunghiul $A D E$ este isoscel, cu $D E = A D = 6$ cm.
$C D = A B = 10$ cm, deci $E C = 10 - 6 = 4$ cm.

Răspuns: $D E = 6$ cm, $E C = 4$ cm

EXERCIȚIUL 7Diagonala perpendiculară pe o laturăgreu

Paralelogramul $A B C D$ are $A D = 6$ cm, iar diagonala $B D = 8$ cm este perpendiculară pe $A D$ . Calculează: a) latura $A B$ și aria paralelogramului; b) distanța de la $D$ la dreapta $A B$ ; c) lungimea diagonalei $A C$ .

Rezolvare pas cu pas

a) Triunghiul $A B D$ este dreptunghic în $D$ : $A B^{2} =$ $6^{2} + 8^{2} =$ $100$ , deci $A B = 10$ cm.
Diagonala $B D$ împarte paralelogramul în două triunghiuri congruente: $A =$ $2 \cdot \frac{6 \cdot 8}{2} =$ $48$ cm².
b) Ducem $D H ⟂ A B$ . Din $A = A B \cdot D H$ : $D H = 48 : 10 = 4,8$ cm.
c) Fie $O$ intersecția diagonalelor: $D O = 8 : 2 = 4$ cm. Triunghiul $A D O$ este dreptunghic în $D$ : $A O^{2} =$ $6^{2} + 4^{2} =$ $52$ , deci $A O =$ $\sqrt{52} =$ $2 \sqrt{13}$ cm.
$A C =$ $2 \cdot A O =$ $4 \sqrt{13}$ cm.

Răspuns: a) $A B = 10$ cm, $A = 48$ cm²; b) $4,8$ cm; c) $A C = 4 \sqrt{13}$ cm

EXERCIȚIUL 8Demonstrează că este paralelogramgreu

În paralelogramul $A B C D$ , punctul $E$ este mijlocul laturii $A B$ , iar $F$ este mijlocul laturii $C D$ . Demonstrează că patrulaterul $A E C F$ este paralelogram.

Rezolvare pas cu pas

$A B ∥ C D$ , iar $E \in A B$ și $F \in C D$ , deci $A E ∥ F C$ .
$A E = \frac{A B}{2}$ și $F C = \frac{C D}{2}$ . Cum $A B = C D$ , rezultă $A E = F C$ .
Patrulaterul $A E C F$ are două laturi opuse paralele și congruente, deci este paralelogram.

Răspuns: $A E C F$ este paralelogram ( $A E ∥ F C$ și $A E = F C$ )

Cum recunoști un exercițiu pe paralelogram

Se dau diagonalele și intersecția lor $O$ : folosești că $O$ este mijlocul fiecărei diagonale.
Se dă un unghi și se cer celelalte: unghiurile opuse sunt egale, iar cele alăturate au suma $180^{\circ}$ .
Apare o bisectoare sau o paralelă: cauți unghiuri alterne interne și un triunghi isoscel.

Greșeli frecvente

Crezi că diagonalele paralelogramului sunt egale. Diagonalele doar se înjumătățesc. Sunt egale numai în dreptunghi și perpendiculare numai în romb.
Înmulțești cele două laturi pentru arie. Aria este latura înmulțită cu înălțimea dusă pe ea, nu cu latura alăturată (aceea e, în general, oblică).
Uiți factorul 2 în perimetru. $P = 2 (a + b)$ : paralelogramul are patru laturi, două câte două egale.

Exersează

Fișă de lucru: Paralelogramul, clasa a VII-aPDF de printat, 6 exerciții Test: Patrulatere, clasa a VII-acu barem (PDF) Lecția video: Paralelogramul, partea a 2-aclasa a VII-a, lecția 4

Din același capitol

Întrebări frecvente

Diagonalele paralelogramului sunt perpendiculare?

Nu, în general. Diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc; sunt perpendiculare doar dacă paralelogramul este romb.

Cum calculez perimetrul paralelogramului?

Aduni două laturi alăturate și înmulțești cu 2: $P = 2 (a + b)$ .

Dreptunghiul este paralelogram?

Da. Dreptunghiul este un paralelogram cu un unghi drept; la fel, rombul și pătratul sunt paralelograme.

Vezi și lecția video: explicația completă, pas cu pas, în 3. Paralelogramul..

Exersează cu fișa de lucru: Paralelogramul — fișă de lucru — temă printabilă, cu rezolvări separate.

Vrei să stăpânești toată materia, nu doar acest subiect?

Lecții video cu profesori, teste și fișe de lucru pentru tot gimnaziul - într-un singur abonament.

Abonează-te - 5 lei prima lună →

Vrei mai mult? Vezi toate resursele de matematică pentru clasele 5-8 →

Verifică-te: 5 întrebări

Alege un răspuns și vezi imediat dacă e corect. Nu se salvează nimic, îl poți relua oricând.

1. Care dintre următoarele afirmații descrie corect un paralelogram?
2. În paralelogramul ABCD, diagonalele AC și BD se intersectează în punctul O. Ce proprietate au diagonalele unui paralelogram?
3. În paralelogramul ABCD, unghiul A măsoară $70 °$ . Cât măsoară unghiul B?
4. Care este formula ariei unui paralelogram cu baza $b$ și înălțimea $h$ ?
5. În paralelogramul ABCD, unghiul A măsoară $60 °$ . Cât măsoară unghiul C, opus lui A?

Despre acest articol

Redactat de: Echipa editorială Școala Virtuală. Răspundem de conținutul lui și îl corectăm când găsim o greșeală.
Pe ce se bazează: Programa școlară în vigoare pentru gimnaziu, la matematică - aceleași noțiuni, în aceeași ordine în care se predau la clasă.
Cine predă tema: Alexandra Pavel, profesor de matematică cu 15 ani la catedră, predă lecțiile video de matematică pentru clasele V-VIII.
Publicat: 8 mai 2026, actualizat 23 septembrie 2026

Exerciții rezolvate din aceeași clasă

RAȚIONALIZAREA NUMITORULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

MEDIA ARITMETICĂ PONDERATĂ - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 1: Numere reale

ARIA PARALELOGRAMULUI - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

LINIA MIJLOCIE ÎN TRIUNGHI, definiție și proprietăți - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

ROMBUL: proprietăți, arie și perimetru - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

ARIILE FIGURILOR GEOMETRICE: toate formulele - EXERCIȚII REZOLVATE (clasa a VII-a)

Capitolul 2: Patrulatere

Lecții video cu

prof. Alexandra Pavel

Abonează-te acum!doar 5 lei prima lună